Szukaj
Tabela całek nieoznaczonych wybranych funkcji
Tabela zawiera całki nieoznaczone (przeciwpochodne) wybranych funkcji.

Całki - wzory

Funkcja f(x)f(x)Całka f(x)dx\int{f(x)dx}Uwagi
aaax+Cax + C
xx12x2+C\dfrac{1}{2} x^2 + C
xnx^n1n+1xn+1+C\dfrac{1}{n + 1} x^{n+1} + Cn1n \neq -1
1x\dfrac{1}{x}lnx+Cln\left | x \right | + C
axa^x1lnaax+C\frac{1}{ln \: a}a^x + C
lnxln \: x(x1)lnx+C(x-1) \: ln \: x + C
logaxlog_a xxlna(lnx1)+C\dfrac{x}{ln \: a}(ln \: x - 1) + C
exe^xex+Ce^x + C
x\sqrt{x}23x3+C\dfrac{2}{3} \sqrt{x^3} + C
1x\dfrac{1}{\sqrt{x}}2x+C2 \sqrt{x} + C
1ax+b\dfrac{1}{ax +b}1alnax+b+C\dfrac{1}{a} ln \left |ax +b \right |+ Ca0a \neq 0
sinxsin \: xcosx+C- cos \: x + C
cosxcos \: xsinx+Csin \: x + C
tgxtg \: xlncosx+C-ln \left| cos \: x \right|+ C
ctgxctg \: xlnsinx+Cln \left| sin \: x \right|+ C
1cos2x\dfrac{1}{cos^2 x}tgx+Ctg \: x + Ccosx0cos \: x \neq 0
1sin2x\dfrac{1}{sin^2 x}ctgx+C-ctg \: x + Csinx0sin \: x \neq 0
1x2+a2\dfrac{1}{x^2 +a^2}1aarctgxa+C\dfrac{1}{a} arc \: tg \dfrac{x}{a} + Ca0a \neq 0
1a2x2\dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}arcsinxa+Carc \: sin \dfrac{x}{a} + Ca0a \neq 0
1x2a2\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}lnx+x2a2+Cln \left| x+ \sqrt{x^2 - a^2} \right | + C
(ax+b)n(ax + b)^n1a(n+1)(ax+b)n+1+C\dfrac{1}{a(n+1)} (ax + b)^{n+1} + Cn1n \neq -1
1a2x2\dfrac{1}{a^2 - x^2}12alna+xax+C\dfrac{1}{2a}ln \left|\dfrac{a+x}{a-x} \right| +Ca>0,xaa>0, \: \left|x \right| \neq a

Trochę informacji

  • Całka nieoznaczona to funkcja.
  • Całkowanie to proces odwrotny do liczenia pochodnej (różniczkowania). Całka z f(x) wynosi s(x), jeśli jej pochodna odtwarza tę funkcję:
    f(x)=s(x), jeli sˊdsdx=f(x)\int f(x) = s(x),\text{ jeśli }\frac{ds}{dx} = f(x)
    Funkcję s(x) nazywa się czasem funkcją pierwotną.
  • Jeśli f(x) jest całką jakiejś funkcji, to jest nią również każda funkcja postaci:
    f(x)+Cf(x) + C
    gdzie C jest dowolną stałą. Jest to tzw. stała całkowania.
    Własność ta wynika z faktu, że pochodna z funkcji stałej (C) jest równa 0 w każdym jej punkcie.
    ⓘ Przykład: Całka z wielomianu 3x2+2x+53x^2 + 2x + 5 to:
    (3x2+2x+5)dx=x3+x2+5x+C\int (3x^2 + 2x + 5) dx = x^3 + x^2 + 5x + C
    ponieważ po obliczeniu jej pochodnej otrzymujemy z powrotem ten sam wielomian:
    ddxx3+x2+5x+C=3x2+2x+5\frac{d}{dx} x^3 + x^2 + 5x + C = 3x^2 + 2x + 5
  • W odróżnieniu od pochodnych nie istnieją gotowe wzory, którymi w sposób rutynowy można obliczyć całkę dowolnej funkcji. Na ogół całkowanie wymaga bardziej wyrafinowanych metod dostosowanych do konkretnego problemu.
  • Nie każda funkcja posiada swoją funkcję pierwotną. Innymi słowy, są takie funkcje, których całka nie istnieje.
  • Wiele praktycznych problemów np. z zakresu nauk przyrodniczych lub technicznych prowadzi do potrzeby obliczania całek.
  • Równanie, którego niewiadomą jest całka z nieznanej funkcji nazywa się równaniem całkowym.

Tagi i linki do tej strony

Jakie tagi ma ten kalkulator

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.