Szukaj
Tablica pochodnych wybranych funkcji elementarnych
Tabela zestawia wzory na pochodne wybranych funkcji elementarnych jednej zmiennej f(x) takich jak funkcja liniowa, funkcja kwadratowa, sinus, kosinus, logarytm itp.

Wzory na pochodne

Funkcja f(x)Pochodna f'(x)Uwagi
aa00
xx11
ax+bax+baa
ax2+bx+cax^2+bx+c2ax+b2ax+b
xax^aaxa1ax^{a-1}
x\sqrt{x}12x\frac{1}{2\sqrt{x}}
xn\sqrt[n]{x}1nxn1n\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}nN\{0,1}n \in N \backslash \{0,1\}
1x\frac{1}{x}1x2\frac{-1}{x^2}
ax\frac{a}{x}ax2\frac{-a}{x^2}
sinx\sin xcosx\cos x
cosx\cos xsinx-\sin x
tgx\tg x1cos2x\frac{1}{\cos^2 x}
ctgx\ctg x1sin2x-\frac{1}{\sin^2 x}
axa^xaxlnaa^x \cdot \ln a
exe^xexe^x
lnx\ln x1x\frac{1}{x}
lnx\ln|x|1x\frac{1}{x}
logax\log_ax1xlna\frac{1}{x \ln a}
arcsinxarc \sin x11x2\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
arccosxarc \cos x11x2\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}
arctgxarc \tg x11+x2\frac{1}{1 + x^2}
arcctgxarc \ctg x11+x2\frac{-1}{1 + x^2}

Trochę informacji

  • Pochodną funkcji w punkcie definiujemy jako granicę z tzw. ilorazu różnicowego przy x-ie dążącym do tego punktu:
    f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
  • Często można spotkać równoważną (i czasem w zależności od kontekstu bardziej użyteczną) definicję, w której przyjmujemy x=x0+hx = x_0 + h, gdzie hh jest tzw. "bardzo małą zmianą" zmiennej x (zmiennej niezależnej):
    f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
  • Pochodna rozumiana jako funkcja przypisuje powyższe wyrażenie (tzn. granicę z ilorazu różnicowego) do każdego punktu ze swojej dziedziny:
    f:xlimh0f(x+h)f(x)hf': x \rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
  • ⓘ Przykład: Pochodna funkcji liniowej f(x)=ax+bf(x) = ax + b, to f'(x) = a, ponieważ:
    (ax+b)=deflimh0a(x+h)+b(ax+b)h=limh0ax+ah+baxbh=limh0ahh=a(ax+b)' \overset{\mathrm{def}}{=} \lim\limits_{h \to 0} \frac{a \cdot (x + h) + b - (ax + b)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\cancel{ax} + ah + \cancel{b} - \cancel{ax} - \cancel{b}}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{a\cancel{h}}{\cancel{h}} = a
  • Pochodną funkcji f(x), oznacza się często symbolem f'(x) (czytaj: "f prim od x").
  • W praktyce rzadko oblicza się pochodne wprost z definicji. Na co dzień korzysta się z gotowych wzorów na pochodne.
  • Czasami obliczenie pochodnej w postaci analitycznej (tzn. w postaci wzoru funkcji np. -sinx) jest trudne lub niemożliwe. W takim wypadku alternatywę mogą stanowić obliczenia numeryczne. Opierają się one na obliczaniu wartości pochodnej na wybranym przedziale korzystając wprost z definicji ilorazu różnicowego przyjmując skończoną, lecz "umownie niewielką" wartość przyrostu h np. 0,00001. W praktyce wartość przyrostu dobiera się eksperymentalnie do konkretnego zastosowania. W ten sposób można uzyskać przybliżone wartości pochodnej, co często jest wykorzystywane w naukach przyrodniczych lub inżynierskich.
  • Wyjątkową i z racji tego faktu bardzo ciekawą dla matematyków funkcję, stanowi f(x)=exf(x) = e^x zwana czasem eksponensem. Jej pochodna w każdym punkcie jest taka sama jak funkcja wyjściowa (pierwotna):
    (ex)=ex(e^x)' = e^x
  • Pochodną można interpretować jako miarę zmienności funkcji. Taka intepretacja jest szczególnie użyteczna w naukach przyrodniczych i inżynierskich np.:
    • w fizyce prędkość to pochodna położenia po czasie, a więc wielkość określająca jak szybko zmienia się położenie ciała wraz z upływem czasu,
    • w elektronice natężenie prądu definuje się jako pochodną przepływającego ładunku elektrycznego po czasie,
    • w chemii moment dipolowy to pochodna energii cząsteczki po natężeniu pola elektrycznego, innymi słowy jest to wielkość mówiąca jak mocno zewnętrzne pole elektryczne wpłynie na energie cząsteczki,
    • itd.


Tagi i linki do tej strony

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.