Szukaj
Tablica pochodnych wybranych funkcji elementarnych
Tabela zestawia wzory na pochodne wybranych funkcji elementarnych jednej zmiennej f(x) takich jak funkcja liniowa, funkcja kwadratowa, sinus, kosinus, logarytm itp.

Wzory na pochodne

Funkcja f(x)Pochodna f'(x)Uwagi
Show sourceaaShow source00Show source
Show sourcexxShow source11Show source
Show sourceax+bax+bShow sourceaaShow source
Show sourceax2+bx+cax^2+bx+cShow source2ax+b2ax+bShow source
Show sourcexax^aShow sourceaxa1ax^{a-1}Show source
Show sourcex\sqrt{x}Show source12x\frac{1}{2\sqrt{x}}Show source
Show sourcexn\sqrt[n]{x}Show source1nxn1n\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}Show sourcenN\{0,1}n \in N \backslash \{0,1\}
Show source1x\frac{1}{x}Show source1x2\frac{-1}{x^2}Show source
Show sourceax\frac{a}{x}Show sourceax2\frac{-a}{x^2}Show source
Show sourcesinx\sin xShow sourcecosx\cos xShow source
Show sourcecosx\cos xShow sourcesinx-\sin xShow source
Show sourcetgx\tg xShow source1cos2x\frac{1}{\cos^2 x}Show source
Show sourcectgx\ctg xShow source1sin2x-\frac{1}{\sin^2 x}Show source
Show sourceaxa^xShow sourceaxlnaa^x \cdot \ln aShow source
Show sourceexe^xShow sourceexe^xShow source
Show sourcelnx\ln xShow source1x\frac{1}{x}Show source
Show sourcelnx\ln|x|Show source1x\frac{1}{x}Show source
Show sourcelogax\log_axShow source1xlna\frac{1}{x \ln a}Show source
Show sourcearcsinxarc \sin xShow source11x2\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}Show source
Show sourcearccosxarc \cos xShow source11x2\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}Show source
Show sourcearctgxarc \tg xShow source11+x2\frac{1}{1 + x^2}Show source
Show sourcearcctgxarc \ctg xShow source11+x2\frac{-1}{1 + x^2}Show source

Trochę informacji

  • Pochodną funkcji w punkcie definiujemy jako granicę z tzw. ilorazu różnicowego przy x-ie dążącym do tego punktu:
    f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
  • Często można spotkać równoważną (i czasem w zależności od kontekstu bardziej użyteczną) definicję, w której przyjmujemy x=x0+hx = x_0 + h, gdzie hh jest tzw. "bardzo małą zmianą" zmiennej x (zmiennej niezależnej):
    f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
  • Pochodna rozumiana jako funkcja przypisuje powyższe wyrażenie (tzn. granicę z ilorazu różnicowego) do każdego punktu ze swojej dziedziny:
    f:xlimh0f(x+h)f(x)hf': x \rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
  • ⓘ Przykład: Pochodna funkcji liniowej f(x)=ax+bf(x) = ax + b, to f'(x) = a, ponieważ:
    (ax+b)=deflimh0a(x+h)+b(ax+b)h=limh0ax+ah+baxbh=limh0ahh=a(ax+b)' \overset{\mathrm{def}}{=} \lim\limits_{h \to 0} \frac{a \cdot (x + h) + b - (ax + b)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\cancel{ax} + ah + \cancel{b} - \cancel{ax} - \cancel{b}}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{a\cancel{h}}{\cancel{h}} = a
  • Pochodną funkcji f(x), oznacza się często symbolem f'(x) (czytaj: "f prim od x").
  • W praktyce rzadko oblicza się pochodne wprost z definicji. Na co dzień korzysta się z gotowych wzorów na pochodne.
  • Czasami obliczenie pochodnej w postaci analitycznej (tzn. w postaci wzoru funkcji np. -sinx) jest trudne lub niemożliwe. W takim wypadku alternatywę mogą stanowić obliczenia numeryczne. Opierają się one na obliczaniu wartości pochodnej na wybranym przedziale korzystając wprost z definicji ilorazu różnicowego przyjmując skończoną, lecz "umownie niewielką" wartość przyrostu h np. 0,00001. W praktyce wartość przyrostu dobiera się eksperymentalnie do konkretnego zastosowania. W ten sposób można uzyskać przybliżone wartości pochodnej, co często jest wykorzystywane w naukach przyrodniczych lub inżynierskich.
  • Wyjątkową i z racji tego faktu bardzo ciekawą dla matematyków funkcję, stanowi f(x)=exf(x) = e^x zwana czasem eksponensem. Jej pochodna w każdym punkcie jest taka sama jak funkcja wyjściowa (pierwotna):
    (ex)=ex(e^x)' = e^x
  • Pochodną można interpretować jako miarę zmienności funkcji. Taka intepretacja jest szczególnie użyteczna w naukach przyrodniczych i inżynierskich np.:
    • w fizyce prędkość to pochodna położenia po czasie, a więc wielkość określająca jak szybko zmienia się położenie ciała wraz z upływem czasu,
    • w elektronice natężenie prądu definuje się jako pochodną przepływającego ładunku elektrycznego po czasie,
    • w chemii moment dipolowy to pochodna energii cząsteczki po natężeniu pola elektrycznego, innymi słowy jest to wielkość mówiąca jak mocno zewnętrzne pole elektryczne wpłynie na energie cząsteczki,
    • itd.


Tagi i linki do tej strony

Jakie tagi ma ten kalkulator

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.