Całki - wzory

Funkcja $f(x)$	Całka $\int{f(x)dx}$	Uwagi
$a$	$ax + C$
$x$	$\dfrac{1}{2} x^2 + C$
$x^n$	$\dfrac{1}{n + 1} x^{n+1} + C$	$n \neq -1$
$\dfrac{1}{x}$	$ln\left \| x \right \| + C$
$a^x$	$\frac{1}{ln \: a}a^x + C$
$ln \: x$	$(x-1) \: ln \: x + C$
$log_a x$	$\dfrac{x}{ln \: a}(ln \: x - 1) + C$
$e^x$	$e^x + C$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{2}{3} \sqrt{x^3} + C$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2 \sqrt{x} + C$
$\dfrac{1}{ax +b}$	$\dfrac{1}{a} ln \left \|ax +b \right \|+ C$	$a \neq 0$
$sin \: x$	$- cos \: x + C$
$cos \: x$	$sin \: x + C$
$tg \: x$	$-ln \left\| cos \: x \right\|+ C$
$ctg \: x$	$ln \left\| sin \: x \right\|+ C$
$\dfrac{1}{cos^2 x}$	$tg \: x + C$	$cos \: x \neq 0$
$\dfrac{1}{sin^2 x}$	$-ctg \: x + C$	$sin \: x \neq 0$
$\dfrac{1}{x^2 +a^2}$	$\dfrac{1}{a} arc \: tg \dfrac{x}{a} + C$	$a \neq 0$
$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$	$arc \: sin \dfrac{x}{a} + C$	$a \neq 0$
$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$	$ln \left\| x+ \sqrt{x^2 - a^2} \right \| + C$
$(ax + b)^n$	$\dfrac{1}{a(n+1)} (ax + b)^{n+1} + C$	$n \neq -1$
$\dfrac{1}{a^2 - x^2}$	$\dfrac{1}{2a}ln \left\|\dfrac{a+x}{a-x} \right\| +C$	$a>0, \: \left\|x \right\| \neq a$

Trochę informacji

Całka nieoznaczona to funkcja.
Całkowanie to proces odwrotny do liczenia pochodnej (różniczkowania). Całka z f(x) wynosi s(x), jeśli jej pochodna odtwarza tę funkcję:

$\int f(x) = s(x),\text{ jeśli }\frac{ds}{dx} = f(x)$
Funkcję s(x) nazywa się czasem funkcją pierwotną.
Jeśli f(x) jest całką jakiejś funkcji, to jest nią również każda funkcja postaci:

$f(x) + C$
gdzie C jest dowolną stałą. Jest to tzw. stała całkowania.
Własność ta wynika z faktu, że pochodna z funkcji stałej (C) jest równa 0 w każdym jej punkcie.

ⓘ Przykład: Całka z wielomianu $3x^2 + 2x + 5$ to:
$\int (3x^2 + 2x + 5) dx = x^3 + x^2 + 5x + C$
ponieważ po obliczeniu jej pochodnej otrzymujemy z powrotem ten sam wielomian:
$\frac{d}{dx} x^3 + x^2 + 5x + C = 3x^2 + 2x + 5$
W odróżnieniu od pochodnych nie istnieją gotowe wzory, którymi w sposób rutynowy można obliczyć całkę dowolnej funkcji. Na ogół całkowanie wymaga bardziej wyrafinowanych metod dostosowanych do konkretnego problemu.
Nie każda funkcja posiada swoją funkcję pierwotną. Innymi słowy, są takie funkcje, których całka nie istnieje.
Wiele praktycznych problemów np. z zakresu nauk przyrodniczych lub technicznych prowadzi do potrzeby obliczania całek.
Równanie, którego niewiadomą jest całka z nieznanej funkcji nazywa się równaniem całkowym.

Tagi i linki do tej strony

Tagi:

calki_nieoznaczone · wzory_calek · rachunek_calkowy · przeciwpochodna · funkcja_pierwotna

Tagi do wersji anglojęzycznej:

integral_formulas · indefinite_integrals · calculus · antiderivative · intrinsic_functions

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

http://calculla.pl/calki_nieoznaczone

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.