Szukaj
Tablice matematyczne: popularne wzory z ciągów
Tabele zawierają popularne wzory pomocne podczas wykonywania zadań związanych z ciągami jak np. suma n pierwszych liczb ciągu geometrycznego czy obliczenie dowolnego elementu ciągu geometrycznego.

Wersja beta

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !
⌛ Wczytuję...

Ciąg arytmetyczny

NazwaWzórLegenda
N-ty wyraz ciągu arytmetycznegoShow sourcean:=a1+(n1)r a_n:= a_1+\left( n-1\right)\cdot r
  • ana_n - n-ty wyraz ciągu,
  • a1a_1 - pierwszy wyraz ciągu,
  • r - różnica ciągu arytmetycznego (różnica pomiędzy sąsiadującymi wyrazami ciągu: an+1ana_{n+1} - a_n).
Suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznegoShow sourceSn:=(2 a1+(n1)r)2n S_n:=\frac{\left(2~ a_1+\left( n-1\right)\cdot r\right)}{2}\cdot n
  • SnS_n - suma n początkowych wyrazów ciągu,
  • a1a_1 - pierwszy wyraz ciągu,
  • r - różnica ciągu arytmetycznego (różnica pomiędzy sąsiadującymi wyrazami ciągu: an+1ana_{n+1} - a_n).
Suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli znany jest pierwszy i n-ty wyrazShow sourceSn:=(a1+an)2n S_n:=\frac{\left( a_1+ a_n\right)}{2}\cdot n
  • SnS_n - suma n początkowych wyrazów ciągu,
  • a1a_1 - pierwszy wyraz ciągu,
  • ana_n - n-ty wyraz ciągu.
Różnica ciągu arytmetycznegoShow sourcer:=an+1an r:= a_{n+1}- a_n
  • r - różnica ciągu arytmetycznego (różnica pomiędzy sąsiadującymi wyrazami ciągu: an+1ana_{n+1} - a_n),
  • an+1a_{n+1} - (n+1)-wszy wyraz ciągu (wyraz następujący po ana_n),
  • ana_n - n-ty wyraz ciągu.
Związek pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznegoShow sourcean:=(an1+an+1)2 a_n:=\frac{\left( a_{n-1}+ a_{n+1}\right)}{2}
  • ana_n - n-ty wyraz ciągu,
  • an+1a_{n+1} - (n+1)-wszy wyraz ciągu (wyraz następujący po ana_n),
  • an1a_{n-1} - (n-1)-wszy wyraz ciągu (wyraz poprzedzający ana_n).

Ciąg geometryczny

NazwaWzórLegenda
N-ty wyraz ciągu geometrycznegoShow sourcean:=a1+q(n1) a_n:= a_1+{ q}^{\left( n-1\right)}
  • ana_n - n-ty wyraz ciągu,
  • a1a_1 - pierwszy wyraz ciągu,
  • q - iloraz ciągu geometrycznego (stosunek pomiędzy dwoma sąsiadującymi wyrazami ciągu: an+1/ana_{n+1} / a_n).
Suma n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznegoShow sourceSn:=a1(1qn)(1q) S_n:=\frac{ a_1\cdot\left(1-{ q}^{ n}\right)}{\left(1- q\right)}
  • SnS_n - suma n początkowych wyrazów ciągu,
  • a1a_1 - pierwszy wyraz ciągu,
  • q - iloraz ciągu geometrycznego (stosunek pomiędzy dwoma sąsiadującymi wyrazami ciągu: an+1/ana_{n+1} / a_n).
Iloraz ciągu geometrycznegoShow sourceq:=an+1an q:=\frac{ a_{n+1}}{ a_n}
  • q - iloraz ciągu geometrycznego (stosunek pomiędzy dwoma sąsiadującymi wyrazami ciągu: an+1/ana_{n+1} / a_n),
  • an+1a_{n+1} - (n+1)-wszy wyraz ciągu (wyraz następujący po ana_n),
  • ana_n - n-ty wyraz ciągu.
Związek pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznegoShow sourcean:=an1an+1 a_n:=\sqrt{ a_{n-1}\cdot a_{n+1}}
  • ana_n - n-ty wyraz ciągu,
  • an+1a_{n+1} - (n+1)-wszy wyraz ciągu (wyraz następujący po ana_n),
  • an1a_{n-1} - (n-1)-wszy wyraz ciągu (wyraz poprzedzający ana_n).

Trochę informacji

  • Ciąg liczbowy to funkcja, której argumentami są liczby naturalne (1, 2, 3, itd.):
    f(1)=a1= pierwszy wyraz ciągu,f(2)=a2= drugi wyraz ciągu,f(3)=a3= trzeci wyraz ciągu,...f(n1)=an1= (n-1)-wszy wyraz ciągu,f(n)=an= n-ty wyraz ciągu,f(n+1)=an+1= (n+1)-wszy wyraz ciągu,itd. \begin{alignedat}{4} f(1) & = a_1 & = & \text{ pierwszy wyraz ciągu},\\ f(2) & = a_2 & = & \text{ drugi wyraz ciągu},\\ f(3) & = a_3 & = & \text{ trzeci wyraz ciągu},\\ ...\\ f(n-1) & = a_{n-1} & = & \text{ (n-1)-wszy wyraz ciągu},\\ f(n) & = a_{n} & = & \text{ n-ty wyraz ciągu},\\ f(n+1) & = a_{n+1} & = & \text{ (n+1)-wszy wyraz ciągu},\\ \text{itd.} \end{alignedat}
  • Ciąg różni się od zbioru tym, że jego elementy są uporządkowane (kolejność wyrazów ma znaczenie).
  • Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość r:
    an+1=an+ra_{n+1} = a_n + r
    gdzie:
    • ana_n - dowolnie wybrany wyraz ciągu,
    • an+1a_{n+1} - wyraz następujący po wyrazie ana_n,
    • rr - różnica ciągu arytmetycznego.
  • Jeżeli chciałbyś/abyś dowiedzieć się więcej o ciągu arytmetycznym sprawdź nasz inny kalkulator: Ciąg arytmetyczny.
  • Ciąg geometryczny to taki ciąg, w którym każda kolejna liczba jest q razy większa od poprzedniej:
    an+1=anqa_{n+1} = a_n \cdot q
    gdzie:
    • ana_n - dowolnie wybrany wyraz ciągu,
    • an+1a_{n+1} - wyraz następujący po wyrazie ana_n,
    • qq - iloraz ciągu geometrycznego.
  • Jeżeli chciałbyś/abyś dowiedzieć na temat ciągu geometrycznego zobacz na nasz inny kalkulator: Ciąg arytmetyczny.
  • Oprócz pojęcia ciągu liczbowego, można rozważać ciągi złożone z innych obiektów matematycznych np. funkcji. W takim przypadku mówilibyśmy o ciągach funkcyjnych.

Tagi i linki do tej strony

Jakie tagi ma ten kalkulator

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.