Tablica pochodnych wybranych funkcji elementarnych
Tabela zestawia wzory na pochodne wybranych funkcji elementarnych jednej zmiennej f(x) takich jak funkcja liniowa, funkcja kwadratowa, sinus, kosinus, logarytm itp.

Wzory na pochodne#

Funkcja f(x)Pochodna f'(x)Uwagi
Show sourceaaShow source00Show source
Show sourcexxShow source11Show source
Show sourceax+bax+bShow sourceaaShow source
Show sourceax2+bx+cax^2+bx+cShow source2ax+b2ax+bShow source
Show sourcexax^aShow sourceaxa1ax^{a-1}Show source
Show sourcex\sqrt{x}Show source12x\frac{1}{2\sqrt{x}}Show source
Show sourcexn\sqrt[n]{x}Show source1nxn1n\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}Show sourcenN\{0,1}n \in N \backslash \{0,1\}
Show source1x\frac{1}{x}Show source1x2\frac{-1}{x^2}Show source
Show sourceax\frac{a}{x}Show sourceax2\frac{-a}{x^2}Show source
Show sourcesinx\sin xShow sourcecosx\cos xShow source
Show sourcecosx\cos xShow sourcesinx-\sin xShow source
Show sourcetgx\tg xShow source1cos2x\frac{1}{\cos^2 x}Show source
Show sourcectgx\ctg xShow source1sin2x-\frac{1}{\sin^2 x}Show source
Show sourceaxa^xShow sourceaxlnaa^x \cdot \ln aShow source
Show sourceexe^xShow sourceexe^xShow source
Show sourcelnx\ln xShow source1x\frac{1}{x}Show source
Show sourcelnx\ln|x|Show source1x\frac{1}{x}Show source
Show sourcelogax\log_axShow source1xlna\frac{1}{x \ln a}Show source
Show sourcearcsinxarc \sin xShow source11x2\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}Show source
Show sourcearccosxarc \cos xShow source11x2\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}Show source
Show sourcearctgxarc \tg xShow source11+x2\frac{1}{1 + x^2}Show source
Show sourcearcctgxarc \ctg xShow source11+x2\frac{-1}{1 + x^2}Show source

Trochę informacji#

  • Pochodną funkcji w punkcie definiujemy jako granicę z tzw. ilorazu różnicowego przy x-ie dążącym do tego punktu:
    f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
  • Często można spotkać równoważną (i czasem w zależności od kontekstu bardziej użyteczną) definicję, w której przyjmujemy x=x0+hx = x_0 + h, gdzie hh jest tzw. "bardzo małą zmianą" zmiennej x (zmiennej niezależnej):
    f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}
  • Pochodna rozumiana jako funkcja przypisuje powyższe wyrażenie (tzn. granicę z ilorazu różnicowego) do każdego punktu ze swojej dziedziny:
    f:xlimh0f(x+h)f(x)hf': x \rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}
  • ⓘ Przykład: Pochodna funkcji liniowej f(x)=ax+bf(x) = ax + b, to f'(x) = a, ponieważ:
    (ax+b)=deflimh0a(x+h)+b(ax+b)h=limh0ax+ah+baxbh=limh0ahh=a(ax+b)' \overset{\mathrm{def}}{=} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a \cdot (x + h) + b - (ax + b)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cancel{ax} + ah + \cancel{b} - \cancel{ax} - \cancel{b}}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a\cancel{h}}{\cancel{h}} = a
  • Pochodną funkcji f(x), oznacza się często symbolem f'(x) (czytaj: "f prim od x").
  • W praktyce rzadko oblicza się pochodne wprost z definicji. Na co dzień korzysta się z gotowych wzorów na pochodne.
  • Czasami obliczenie pochodnej w postaci analitycznej (tzn. w postaci wzoru funkcji np. -sinx) jest trudne lub niemożliwe. W takim wypadku alternatywę mogą stanowić obliczenia numeryczne. Opierają się one na obliczaniu wartości pochodnej na wybranym przedziale korzystając wprost z definicji ilorazu różnicowego przyjmując skończoną, lecz "umownie niewielką" wartość przyrostu h np. 0,00001. W praktyce wartość przyrostu dobiera się eksperymentalnie do konkretnego zastosowania. W ten sposób można uzyskać przybliżone wartości pochodnej, co często jest wykorzystywane w naukach przyrodniczych lub inżynierskich.
  • Wyjątkową i z racji tego faktu bardzo ciekawą dla matematyków funkcję, stanowi f(x)=exf(x) = e^x zwana czasem eksponensem. Jej pochodna w każdym punkcie jest taka sama jak funkcja wyjściowa (pierwotna):
    (ex)=ex(e^x)' = e^x
  • Pochodną można interpretować jako miarę zmienności funkcji. Taka intepretacja jest szczególnie użyteczna w naukach przyrodniczych i inżynierskich np.:
    • w fizyce prędkość to pochodna położenia po czasie, a więc wielkość określająca jak szybko zmienia się położenie ciała wraz z upływem czasu,
    • w elektronice natężenie prądu definuje się jako pochodną przepływającego ładunku elektrycznego po czasie,
    • w chemii moment dipolowy to pochodna energii cząsteczki po natężeniu pola elektrycznego, innymi słowy jest to wielkość mówiąca jak mocno zewnętrzne pole elektryczne wpłynie na energie cząsteczki,
    • itd.


Tagi i linki do tej strony#

Jakie tagi ma ten kalkulator#

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.