Szukaj
Tabela całek nieoznaczonych wybranych funkcji
Tabela zawiera całki nieoznaczone (przeciwpochodne) wybranych funkcji.

Całki - wzory

Funkcja f(x)f(x)Całka f(x)dx\int{f(x)dx}Uwagi
Show sourceaaShow sourceax+Cax + CShow source
Show sourcexxShow source12x2+C\dfrac{1}{2} x^2 + CShow source
Show sourcexnx^nShow source1n+1xn+1+C\dfrac{1}{n + 1} x^{n+1} + CShow sourcen1n \neq -1
Show source1x\dfrac{1}{x}Show sourcelnx+Cln\left | x \right | + CShow source
Show sourceaxa^xShow source1lnaax+C\frac{1}{ln \: a}a^x + CShow source
Show sourcelnxln \: xShow source(x1)lnx+C(x-1) \: ln \: x + CShow source
Show sourcelogaxlog_a xShow sourcexlna(lnx1)+C\dfrac{x}{ln \: a}(ln \: x - 1) + CShow source
Show sourceexe^xShow sourceex+Ce^x + CShow source
Show sourcex\sqrt{x}Show source23x3+C\dfrac{2}{3} \sqrt{x^3} + CShow source
Show source1x\dfrac{1}{\sqrt{x}}Show source2x+C2 \sqrt{x} + CShow source
Show source1ax+b\dfrac{1}{ax +b}Show source1alnax+b+C\dfrac{1}{a} ln \left |ax +b \right |+ CShow sourcea0a \neq 0
Show sourcesinxsin \: xShow sourcecosx+C- cos \: x + CShow source
Show sourcecosxcos \: xShow sourcesinx+Csin \: x + CShow source
Show sourcetgxtg \: xShow sourcelncosx+C-ln \left| cos \: x \right|+ CShow source
Show sourcectgxctg \: xShow sourcelnsinx+Cln \left| sin \: x \right|+ CShow source
Show source1cos2x\dfrac{1}{cos^2 x}Show sourcetgx+Ctg \: x + CShow sourcecosx0cos \: x \neq 0
Show source1sin2x\dfrac{1}{sin^2 x}Show sourcectgx+C-ctg \: x + CShow sourcesinx0sin \: x \neq 0
Show source1x2+a2\dfrac{1}{x^2 +a^2}Show source1aarctgxa+C\dfrac{1}{a} arc \: tg \dfrac{x}{a} + CShow sourcea0a \neq 0
Show source1a2x2\dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}Show sourcearcsinxa+Carc \: sin \dfrac{x}{a} + CShow sourcea0a \neq 0
Show source1x2a2\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}Show sourcelnx+x2a2+Cln \left| x+ \sqrt{x^2 - a^2} \right | + CShow source
Show source(ax+b)n(ax + b)^nShow source1a(n+1)(ax+b)n+1+C\dfrac{1}{a(n+1)} (ax + b)^{n+1} + CShow sourcen1n \neq -1
Show source1a2x2\dfrac{1}{a^2 - x^2}Show source12alna+xax+C\dfrac{1}{2a}ln \left|\dfrac{a+x}{a-x} \right| +CShow sourcea>0,xaa>0, \: \left|x \right| \neq a

Trochę informacji

  • Całka nieoznaczona to funkcja.
  • Całkowanie to proces odwrotny do liczenia pochodnej (różniczkowania). Całka z f(x) wynosi s(x), jeśli jej pochodna odtwarza tę funkcję:
    f(x)=s(x), jeli sˊdsdx=f(x)\int f(x) = s(x),\text{ jeśli }\frac{ds}{dx} = f(x)
    Funkcję s(x) nazywa się czasem funkcją pierwotną.
  • Jeśli f(x) jest całką jakiejś funkcji, to jest nią również każda funkcja postaci:
    f(x)+Cf(x) + C
    gdzie C jest dowolną stałą. Jest to tzw. stała całkowania.
    Własność ta wynika z faktu, że pochodna z funkcji stałej (C) jest równa 0 w każdym jej punkcie.
    ⓘ Przykład: Całka z wielomianu 3x2+2x+53x^2 + 2x + 5 to:
    (3x2+2x+5)dx=x3+x2+5x+C\int (3x^2 + 2x + 5) dx = x^3 + x^2 + 5x + C
    ponieważ po obliczeniu jej pochodnej otrzymujemy z powrotem ten sam wielomian:
    ddxx3+x2+5x+C=3x2+2x+5\frac{d}{dx} x^3 + x^2 + 5x + C = 3x^2 + 2x + 5
  • W odróżnieniu od pochodnych nie istnieją gotowe wzory, którymi w sposób rutynowy można obliczyć całkę dowolnej funkcji. Na ogół całkowanie wymaga bardziej wyrafinowanych metod dostosowanych do konkretnego problemu.
  • Nie każda funkcja posiada swoją funkcję pierwotną. Innymi słowy, są takie funkcje, których całka nie istnieje.
  • Wiele praktycznych problemów np. z zakresu nauk przyrodniczych lub technicznych prowadzi do potrzeby obliczania całek.
  • Równanie, którego niewiadomą jest całka z nieznanej funkcji nazywa się równaniem całkowym.

Tagi i linki do tej strony

Jakie tagi ma ten kalkulator

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.