Kalkulator znajduje współczynniki wielomianu najlepiej pasującego do serii punktów (x, y).

Wersja beta#

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !

Dane do obliczeń - punkty pomiarowe#

Format danych pomiarowych	Tylko wartości (po prostu ciąg liczb)Ciąg punktów (x,y)
Wartości x
Wartości y
Maksymalny stopień wielomianu (wielomiany wyższego stopnia nie będą obliczane)

Wyniki - przybliżenie Twoich danych pomiarowych#

Rodzaj regresji	Wzór funkcji przybliżającej	Współczynnik determinacji R²
Regresja wielomianowa 3-ego stopnia	Show source $y=x^{3}$	1
Regresja wielomianowa 2-ego stopnia	Show source $y=9~x^{2}-\frac{118}{5}~x+\frac{84}{5}$	0.998614052
Regresja wielomianowa 1-ego stopnia	Show source $y=\frac{152}{5}~x-\frac{231}{5}$	0.889470645
Regresja wielomianowa 0-ego stopnia	Show source $y=45$	0

Podsumowanie - funkcja najlepiej pasująca do Twoich danych#

Punkty pomiarowe
Liczba punktów	5
Wprowadzone punkty	(1, 1), (2, 8), (3, 27), (4, 64), (5, 125)
Przybliżenie
Rodzaj regresji	Regresja wielomianowa 3-ego stopnia
Wzrór funkcji	Show source $y=x^{3}$
Współczynnik determinacji R²	1

Trochę informacji#

ⓘ Wskazówka: Jeżeli nie jesteś pewny(a) jakiego rodzaju regresji potrzebujesz, możemy pomóc Ci znaleźć najlepszy rodzaj funkcji: Rodzaje regresji.
Aproksymacja funkcji polega na znalezieniu wzoru funkcji, który najlepiej pasuje do zbioru punktów np. uzyskanych jako dane pomiarowe.
Metoda najmniejszych kwadratów jest jedną z metod znajdowania takiej funkcji.
Metoda najmniejszych kwadratów to metoda optymalizacji. W wyniku jej działania otrzymujemy taką funkcję, że suma kwadratów odchyleń od danych pomiarowych jest najmniejsza. Matematycznie możemy zapisać to następująco:

$\sum_{i=1}^{n} \left[y_i - f(x_i)\right]^2 = min.$
gdzie:
- $(x_i, y_i)$ - współrzędne i-tego punktu pomiarowego, są to punkty, które znamy,
- $f(x)$ - funkcja, której szukamy, chcemy aby ta funkcja jak najlepiej pasowała do posiadanych punktów,
- $n$ - liczba punktów pomiarowych.
Jeśli ograniczamy poszukiwania do wielomianów, to mówimy o regresji wielomianowej lub przybliżeniu za pomocą wielomianu:

$f(x) = W_n(x) = a_{n}\ x^n + a_{n-1}\ x^{n-1} \dots + a_1\ x + a_0$
gdzie:
- f(x) - szukana funkcja, która jak najlepiej przybliży dane wejściowe,
- a_n - nieznane współczynniki wielomianu, które chcemy znaleźć,
- n - stopień wielomianu.
Jeśli stopień użytego wielomianu wynosi zero (n=0), to otrzymamy przybliżenie za pomocą funkcji stałej tzn. za pomocą jednej liczby, która będzie położona najbliżej wszystkich danych pomiarowych.

$f(x) = C$
Jeśli stopień użytego wielomianu będzie wynosić jeden (n=1), to otrzymamy przybliżenie za pomocą funkcji liniowej:

$f(x) = ax + b$
Dla stopni wielomianu większych niż jeden (n>1), regresja wielomianowa staje się przykładem regresji nieliniowej tzn. z użyciem funkcji innej niż funkcja liniowa.
Korzystając z metody najmniejszych kwadratów możemy dopasować współczynniki wielomianu $\{a_0, a_1, \dots, a_n\}$ , aby otrzymany wielomian jak najlepiej odzwierciedlał dane pomiarowe. Ponieważ współczynniki wielomianu sa liczbami, rozwiązanie tego problemu sprowadza się do rozwiązania równania algebraicznego.

Tagi i linki do tej strony#

Tagi:

przyblizenie_wielomianowe · regresja_wielomianowa · metoda_najmniejszych_kwadratow_wielomian

Tagi do wersji anglojęzycznej:

polynomial_regression · polynomial_approximation · least_squares_approximation_polynomial · least_squares_method_polynomial

Jakie tagi ma ten kalkulator#

KALKULATOR · MATEMATYKA · A -> Z (wszystkie)

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

https://calculla.pl/przyblizenie_wielomianowe?inDataFormat=xy&inValuesX=1%2C%202%2C%203%2C%204%2C%205&inValuesY=1%2C%208%2C%2027%2C%2064%2C%20125&inMaxPolynomialOrder=3

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#