Tabela zestawia wzory na pochodne wybranych funkcji elementarnych jednej zmiennej f(x) takich jak funkcja liniowa, funkcja kwadratowa, sinus, kosinus, logarytm itp.

Wzory na pochodne#

Funkcja f(x)	Pochodna f'(x)	Uwagi
Show source $a$	Show source $0$	Show source
Show source $x$	Show source $1$	Show source
Show source $ax+b$	Show source $a$	Show source
Show source $ax^2+bx+c$	Show source $2ax+b$	Show source
Show source $x^a$	Show source $ax^{a-1}$	Show source
Show source $\sqrt{x}$	Show source $\frac{1}{2\sqrt{x}}$	Show source
Show source $\sqrt[n]{x}$	Show source $\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$	Show source $n \in N \backslash \{0,1\}$
Show source $\frac{1}{x}$	Show source $\frac{-1}{x^2}$	Show source
Show source $\frac{a}{x}$	Show source $\frac{-a}{x^2}$	Show source
Show source $\sin x$	Show source $\cos x$	Show source
Show source $\cos x$	Show source $-\sin x$	Show source
Show source $\tg x$	Show source $\frac{1}{\cos^2 x}$	Show source
Show source $\ctg x$	Show source $-\frac{1}{\sin^2 x}$	Show source
Show source $a^x$	Show source $a^x \cdot \ln a$	Show source
Show source $e^x$	Show source $e^x$	Show source
Show source $\ln x$	Show source $\frac{1}{x}$	Show source
Show source $\ln\|x\|$	Show source $\frac{1}{x}$	Show source
Show source $\log_ax$	Show source $\frac{1}{x \ln a}$	Show source
Show source $arc \sin x$	Show source $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	Show source
Show source $arc \cos x$	Show source $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$	Show source
Show source $arc \tg x$	Show source $\frac{1}{1 + x^2}$	Show source
Show source $arc \ctg x$	Show source $\frac{-1}{1 + x^2}$	Show source

Trochę informacji#

Pochodną funkcji w punkcie definiujemy jako granicę z tzw. ilorazu różnicowego przy x-ie dążącym do tego punktu:

$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
Często można spotkać równoważną (i czasem w zależności od kontekstu bardziej użyteczną) definicję, w której przyjmujemy $x = x_0 + h$ , gdzie $h$ jest tzw. "bardzo małą zmianą" zmiennej x (zmiennej niezależnej):

$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$
Pochodna rozumiana jako funkcja przypisuje powyższe wyrażenie (tzn. granicę z ilorazu różnicowego) do każdego punktu ze swojej dziedziny:

$f': x \rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$
ⓘ Przykład: Pochodna funkcji liniowej $f(x) = ax + b$ , to f'(x) = a, ponieważ:
$(ax+b)' \overset{\mathrm{def}}{=} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a \cdot (x + h) + b - (ax + b)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cancel{ax} + ah + \cancel{b} - \cancel{ax} - \cancel{b}}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a\cancel{h}}{\cancel{h}} = a$
Pochodną funkcji f(x), oznacza się często symbolem f'(x) (czytaj: "f prim od x").
W praktyce rzadko oblicza się pochodne wprost z definicji. Na co dzień korzysta się z gotowych wzorów na pochodne.
Czasami obliczenie pochodnej w postaci analitycznej (tzn. w postaci wzoru funkcji np. -sinx) jest trudne lub niemożliwe. W takim wypadku alternatywę mogą stanowić obliczenia numeryczne. Opierają się one na obliczaniu wartości pochodnej na wybranym przedziale korzystając wprost z definicji ilorazu różnicowego przyjmując skończoną, lecz "umownie niewielką" wartość przyrostu h np. 0,00001. W praktyce wartość przyrostu dobiera się eksperymentalnie do konkretnego zastosowania. W ten sposób można uzyskać przybliżone wartości pochodnej, co często jest wykorzystywane w naukach przyrodniczych lub inżynierskich.
Wyjątkową i z racji tego faktu bardzo ciekawą dla matematyków funkcję, stanowi $f(x) = e^x$ zwana czasem eksponensem. Jej pochodna w każdym punkcie jest taka sama jak funkcja wyjściowa (pierwotna):

$(e^x)' = e^x$
Pochodną można interpretować jako miarę zmienności funkcji. Taka intepretacja jest szczególnie użyteczna w naukach przyrodniczych i inżynierskich np.:
- w fizyce prędkość to pochodna położenia po czasie, a więc wielkość określająca jak szybko zmienia się położenie ciała wraz z upływem czasu,
- w elektronice natężenie prądu definuje się jako pochodną przepływającego ładunku elektrycznego po czasie,
- w chemii moment dipolowy to pochodna energii cząsteczki po natężeniu pola elektrycznego, innymi słowy jest to wielkość mówiąca jak mocno zewnętrzne pole elektryczne wpłynie na energie cząsteczki,
- itd.

Tagi i linki do tej strony#

Tagi:

wzory_na_pochodne · pochodne_funkcji · pochodne_funkcji_jednej_zmiennej · pochodne_funkcji_elementarnych · pochodne_funkcji_trygonometrycznych · pochodne_wielomianow · pochodna_funkcji_liniowej · pochodna_funkcji_kwadratowej · pochodna_z_e_do_x · pochodna_logarytmu · pochodna_logarytmu_naturalnego

Tagi do wersji anglojęzycznej:

derivative_formulas · function_derivatives · derivatives_of_one_variable_functions · derivatives_of_elementary_functions · derivatives_of_trigonometric_functions · derivatives_of_polynomials · derivative_of_linear_function · derivative_of_square_function · derivative_of_e_to_x · exponents_derivative · logarithm_derivative · natural_logarithm_derivative

Jakie tagi ma ten kalkulator#

TABELA · MATEMATYKA · A -> Z (wszystkie)

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

https://calculla.pl/wzory_na_pochodne

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#