English language flag EN
Polish language flag PL
◀
Tablice matematyczne: wzory na liczbę e
▶
Tabela zawiara różne metody obliczania lub definiowania tzw. liczby e.

Wersja beta#

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !
⌛ Wczytuję...

Liczba e jako granica ciągu#

WzórUwagi
Show sourcee=lim⁡n→∞(1+1n)ne = \lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n-
Show sourcee=lim⁡n→∞nn!ne = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}Jeden z tzw. wzorów Stirlinga
Show sourcee=lim⁡n→∞n⋅(2πnn!)1/ne = \lim_{n \to \infty} n\cdot\left( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right)^{1/n}Jeden z tzw. wzorów Stirlinga
Show sourcee=lim⁡n→∞n!!ne = \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{!n}-
Show sourcee=lim⁡n→∞((n+1)n+1nn−nn(n−1)n−1)e = \lim_{n\to\infty} \left({\rm }\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} - \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right)-

Liczba e jako suma nieskończonego szeregu#

WzórUwagi
Show sourcee=2+11+12+23+3⋱e = 2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{\ddots}}}}Jest to tzw. ułamek łańcuchowy.
Show sourcee=∑n=0∞1n!=10!+11!+12!+13!+14!+…e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots-
Show sourcee=[∑n=0∞(−1)nn!]−1e = \left[ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \right]^{-1}-
Show sourcee=[∑n=0∞1−2n(2n)!]−1e = \left[ \sum_{n=0}^\infty \frac{1-2n}{(2n)!} \right]^{-1}-
Show sourcee=12∑n=0∞n+1n!e = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{n!}-
Show sourcee=2∑n=0∞n+1(2n+1)!e = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{(2n+1)!}-
Show sourcee=∑n=0∞3−4n2(2n+1)!e = \sum_{n=0}^\infty \frac{3-4n^2}{(2n+1)!}-
Show sourcee=∑n=0∞(3n)2+1(3n)!e = \sum_{n=0}^\infty \frac{(3n)^2+1}{(3n)!}-
Show sourcee=[∑n=0∞4n+322n+1(2n+1)!]2e = \left[ \sum_{n=0}^\infty \frac{4n+3}{2^{2n+1} (2n+1)!} \right]^2-
Show sourcee=[−12π2∑n=1∞1n2cos⁡(9nπ+n2π2−9)]−1/3e = \left[\frac{-12}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \cos \left( \frac{9}{n\pi+\sqrt{n^2\pi^2-9}} \right) \right]^{-1/3}-
Show sourcee=∑n=1∞n22(n!)e = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2(n!)}-

Liczba e jako nieskończony iloczyn#

WzórUwagi
Show sourcee=2⋅43⋅6⋅85⋅74⋅10⋅12⋅14⋅169⋅11⋅13⋅158⋯=2⋅∏n=1∞∏i=12n−1(2n+2i)∏i=12n−1(2n+2i−1)2ne = 2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots=2\cdot\prod_{n=1}^\infty\sqrt[2^n]{\frac{\prod_{i=1}^{2^{n-1}}(2^n+2i)}{\prod_{i=1}^{2^{n-1}}(2^n+2i-1)}}-
Show sourcee=2(21)1/2(2343)1/4(45656787)1/8⋯=2∏n=1∞[(2n−1−1)!!]2[(2n)!!]2[(2n−1)!!]2[(2n−1)!!]22ne = 2 \left( \frac{2}{1} \right)^{1/2} \left( \frac{2}{3} \frac{4}{3} \right)^{1/4} \left( \frac{4}{5} \frac{6}{5} \frac{6}{7} \frac{8}{7} \right)^{1/8} \cdots =2\prod_{n=1}^\infty\sqrt[2^n]{\frac{[(2^{n-1}-1)!!]^2[(2^n)!!]^2}{[(2^{n-1})!!]^2[(2^n-1)!!]^2}}
  • Wzór udowodniony przez Nicka Pippengera w 1980 roku,
  • n!!n!! to tzw. silnia podwójna.

Trochę informacji#

  • Liczba e pojawia się w wielu dziedzinach matematyki, naukach przyrodniczych i inżynieryjnych.
  • Inne spotykane nazwy to liczba Eulera lub liczba Napera.
  • Liczba e może być zdefiniowana na wiele różnych sposobów w zależności od kontekstu. Jedne z najpopularniejszych definicji to przedstawienie liczby e jako granicy ciągu:
    e=lim⁡n→∞(1+1n)ne = \lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n
    lub jako sumy szeregu:
    e=∑n=0∞1n!=10!+11!+12!+13!+14!+…e = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} = \dfrac{1}{0!} + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} + \dots
  • Przybliżona wartość liczby e to:
    e≈2,718281828459e \approx 2,718281828459
  • Liczba e to podstawa logarytmu naturalnego.
  • Z liczbą e związana jest również funkcja wykładnicza zwana czasem eksponensem:
    f(x)=exp(x)=exf(x) = exp(x) = e^x

Tagi i linki do tej strony#

Tagi:
Tagi do wersji anglojęzycznej:

Jakie tagi ma ten kalkulator#

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#

Calculla 2.0 by Kemu StudioAll rights reserved
JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.