Krotkie podsumowanie typowych rodzajów równań (algebraiczne, liniowe, różniczkowe itd.)

Wersja beta#

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !

Równania ze względu na ilość rozwiązań#

Rodzaj równania	Liczba rozwiązań	Opis	Przykładowe równanie	Przykładowe rozwiązania
Równanie sprzeczne	0	Brak rozwiązań, nie ma takiego x-a, który spełnia równanie (naszego problemu nie można rozwiązać w taki sposób).	Show source $\sin(x) = 10$	Show source $-$
Równanie oznaczone	1	Jedno rozwiązanie, istnieje dokładnie jeden x, który spełnia równanie (nasz problem ma jedno unikalne rozwiązanie).	Show source $x + 2 = 5$	Show source $x = 3$
Równanie z wieloma rozwiązaniami	2, 3, 4...	Wiele rozwiązań, jest więcej niż jeden x, który spełnia równanie (nasz problem można rozwiązać na więcej niż jeden sposób).	Show source $x^2 = 4$	Show source $x = \left\{-2, 2\right\}$
Równanie tożsamościowe	∞	Niekończenie wiele rozwiązań, nie ma znaczenia co wstawimy za x, a równanie i tak zawsze będzie prawdziwe (gratulacje ☺, właśnie odkryłeś/aś kolejną regułę, która rządzi naszym wrzechświatem).	Show source $x + x = 2x$	Show source $x = \left\{-10, 1, \frac{5}{8}, 1000, \dots \right\}$

Równania ze względu na rodzaj niewiadomej#

Rodzaj równania	Rodzaj niewiadomej (czym jest x)	Opis	Przykładowe równanie	Przykładowe rozwiązania
Równanie liczbowe	Liczba	Szukamy takiej liczby, która po wstawieniu w miejsce x-a da prawdę.	Show source $2x + 2 = 5$	Show source $x = \frac{3}{2}$
Równanie funkcyjne	Funkcja	Szukamy takiej funkcji, która po wstawieniu w miejsce f-a da prawdę.	Show source $\frac{d}{dx} f(x) = 2x + 1$	Show source $f(x) = x^2 + x$
Równanie diofantyczne	Liczba całkowita	Szukamy takiej liczby całkowitej, która po wstawieniu w miejsce x-a da prawdę.	Show source $x^2 = 2^x$	Show source $x = 2$

Równania liczbowe ze względu na rodzaj wyrażenia#

Rodzaj równania	Wyrażenie zawierające niewiadomą/e	Opis	Przykładowe równanie	Przykładowe rozwiązania
Równanie liniowe (pierwszego stopnia)	Show source $a x + b = 0$	x to niewiadoma, a i b to znane współczynniki (x występuje maksymalnie w pierwszej potędze).	Show source $2x - 3 = 0$	Show source $x = \frac{3}{2}$
Równanie kwadratowe (drugiego stopnia)	Show source $a x^2 + b x + c = 0$	x to niewiadoma, a, b i c to znane współczynniki (x występuja maksymalnie w drugiej potędze).	Show source $2x^2 - 3x + 1 = 0$	Show source $x = \left\{1, \frac{1}{2}\right\}$
Równanie wielomianowe	Show source $W(x) = a_n x^n + a_{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$	x to niewiadoma, a_n to znane współczynniki wielomianu (uogólnienie równań liniowych i kwadratowych na wielomian dowolnego stopnia, x może być w dowolnej potędze).	Show source $2x^5 + x^4 - 2x-1 = 0$	Show source $x = \left\{-\frac{1}{2}, -1, -i, i, 1\right\}$
Równanie logarytmiczne	Show source $a\ \log(x) - b = 0$	Niewiadoma x znajduje się pod logarytmem (równanie zawiera logarytm z nieznanej liczby).	Show source $\log(x) = 2$	Show source $x = 100$
Równanie wykładnicze	Show source $a^x - b = 0$	Niewiadoma x znajduje się wykładniku (równanie zawiera potęgowanie przez nieznaną liczbę).	Show source $2^x = 8$	Show source $x = 3$
Równanie trygonometryczne	Show source $-$	Niewiadoma x znajduje się pod jedną z funkcji trygonometrycznych np. sinus lub tangens (równanie zawiera funkcję trygonometryczną nieznanego argumentu).	Show source $sin(x) = 1$	Show source $x = \left\{\dots, -4\pi, -2\pi, 2\pi, 4\pi, \dots\right\}$

Trochę informacji#

Z równaniami mamy do czynienia kiedy dysponujemy wyrażeniem, w którym część informacji jest znana, a część jest niewiadoma.
Rozwiązywanie równania polega na znalezieniu co podstawić w miejsce niewiadomej aby otrzymać zdanie prawdziwe (równość). Mówimy wtedy, że rozwiązanie spełnia równanie.

ⓘ Przykład: Rozwiązaniem równania:
$2 + x = 5$
jest liczba 3, ponieważ gdy podstawimy ją w miejsce x-a otrzymujemy:
$2 + 3 = 5$
czyli:
$5 = 5$
Równania na ogół odzwierciedlają praktyczne problemy, w których szukamy wartości spełniającej nasze kryteria np.:
- wiemy, że do wykonania jednego sernika potrzeba 6 jajek, chcemy wiedzieć ile jajek potrzeba aby upiec dwa serniki na nadchodzące święta,
- potrzebujemy dotrzeć na spotkanie do miasta odległego o 300 km, zastanawiamy się ile czasu zajmie nam podróż jeśli jechalibyśmy średnio z prędkością 50 km/h,
- mamy kieszonkowe w wysokości 10 zł na tydzień i chcielibyśmy kupić rower za 500 zł, zastanawiamy się ile tygodni musimy odkładać aby móc go kupić,
- itp.
Równania można podzielić ze względu na rodzaj obiektu, którego szukamy (rodzaj rozwiązania):
- równania liczbowe - jeśli rozwiązaniem jest liczba (np. trzy), wówczas szukamy odpowiedzi na pytania w rodzaju:
  - "ile",
  - "jak dużo",
  - "o której",
  - "za jaką cenę",
  - "czy istnieje taka liczba, że...",
  - itp.
  Przykładowe równanie liczbowe to (x to niewiadoma liczba):
  
  $x = x + 1$
- równania funkcyjne - jeśli rozwiązaniem jest funkcja (np. f(x)=3x²-5), wówczas szukamy odpowiedzi na pytania w rodzaju:
  - "czy istnieje taka funkcja, że...",
  - "po jakim torze przemieści się...",
  - "jak zmienia się jedna wielkość w zależności od innej",
  - "pochodna jakiej funkcji wynosi...",
  - itp.
  Przykładowe równanie funkcyjne to (f to niewiadoma funkcja):
  
  $\dfrac{d}{dx}f(x) = 2x-4$
- itd.
Równania liczbowe często dzieli się ze względu na rodzaj wyrażenia jakie zawierają np.:
- równanie liniowe - x to niewiadoma, a i b są znane:
  
  $ax + b = 0$
- równanie kwadratowe - x to niewiadoma, a, b i c są znane:
  
  $ax^2 + bx + c = 0$
- równanie wielomianowe - x to niewiadoma, współczynniki wielomianu są znane:
  
  $W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} \dots a_1 x + a_0 = 0$
- równanie wykładnicze - niewiadoma x występuje w wykładniku potęgi:
  
  $a^x - b = 0$
- równanie logarytmiczne - niewiadoma x występuje pod logarytmem:
  
  $log(x) - b = 0$
- itp.
Równania można również podzielić ze względu na ilość niewiadomych:
- równania z jedną niewiadomą np.:
  
  $x = x + 1$
- równanie z dwoma niewiadomymi np.:
  
  $x + y = 3$
- itd.
Równania mogą mieć więcej niż jedno rozwiązanie (nasz problem można rozwiązać na różne sposoby) lub nie mieć ich w ogóle (naszego problemu nie da się rozwiązać tak jak to sobie wyobraziliśmy). W zależności od ilości rozwiązań równania można podzielić na:
- równania tożsamościowe - mają nieskończenie wiele rozwiązań np.:
  
  $2(x - 1) + 2 = 2x$
  (można znaleźć dowolną ilość różnych liczb, które po podstawieniu za x dają prawdę)
- równania sprzeczne - nie mają żadnego rozwiązania np.:
  
  $sin(x) = 10$
  (nie ma takiej liczby, której sinus wynosiłby 10)

Tagi i linki do tej strony#

Tagi:

rodzaje_rownan · podzial_rownan · klasyfikacja_rownan · typy_rownan

Tagi do wersji anglojęzycznej:

equation_types · equations_classification · types_of_equations

Jakie tagi ma ten kalkulator#

TABELA · MATEMATYKA · A -> Z (wszystkie)

Permalink#

Ten kalkulator nie obsługuje obecnie permalinków.

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#