Tabele zawierają popularne wzory pomocne podczas wykonywania zadań związanych z ciągami jak np. suma n pierwszych liczb ciągu geometrycznego czy obliczenie dowolnego elementu ciągu geometrycznego.

Wersja beta#

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !

⌛ Wczytuję...

Ciąg arytmetyczny#

Nazwa	Wzór	Legenda
N-ty wyraz ciągu arytmetycznego	Show source $a_n=a_1+\left(n-1\right) \cdot r$	$a_n$ - n-ty wyraz ciągu, $a_1$ - pierwszy wyraz ciągu, r - różnica ciągu arytmetycznego (różnica pomiędzy sąsiadującymi wyrazami ciągu: $a_{n+1} - a_n$ ).
Suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego	Show source $S_n=\frac{2~a_1+\left(n-1\right) \cdot r}{2} \cdot n$	$S_n$ - suma n początkowych wyrazów ciągu, $a_1$ - pierwszy wyraz ciągu, r - różnica ciągu arytmetycznego (różnica pomiędzy sąsiadującymi wyrazami ciągu: $a_{n+1} - a_n$ ).
Suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli znany jest pierwszy i n-ty wyraz	Show source $S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n$	$S_n$ - suma n początkowych wyrazów ciągu, $a_1$ - pierwszy wyraz ciągu, $a_n$ - n-ty wyraz ciągu.
Różnica ciągu arytmetycznego	Show source $r=a_{n+1}-a_n$	r - różnica ciągu arytmetycznego (różnica pomiędzy sąsiadującymi wyrazami ciągu: $a_{n+1} - a_n$ ), $a_{n+1}$ - (n+1)-wszy wyraz ciągu (wyraz następujący po $a_n$ ), $a_n$ - n-ty wyraz ciągu.
Związek pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego	Show source $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$	$a_n$ - n-ty wyraz ciągu, $a_{n+1}$ - (n+1)-wszy wyraz ciągu (wyraz następujący po $a_n$ ), $a_{n-1}$ - (n-1)-wszy wyraz ciągu (wyraz poprzedzający $a_n$ ).

Ciąg geometryczny#

Nazwa	Wzór	Legenda
N-ty wyraz ciągu geometrycznego	Show source $a_n=a_1+q^{n-1}$	$a_n$ - n-ty wyraz ciągu, $a_1$ - pierwszy wyraz ciągu, q - iloraz ciągu geometrycznego (stosunek pomiędzy dwoma sąsiadującymi wyrazami ciągu: $a_{n+1} / a_n$ ).
Suma n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego	Show source $S_n=\frac{a_1 \cdot \left(1-q^{n}\right)}{1-q}$	$S_n$ - suma n początkowych wyrazów ciągu, $a_1$ - pierwszy wyraz ciągu, q - iloraz ciągu geometrycznego (stosunek pomiędzy dwoma sąsiadującymi wyrazami ciągu: $a_{n+1} / a_n$ ).
Iloraz ciągu geometrycznego	Show source $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$	q - iloraz ciągu geometrycznego (stosunek pomiędzy dwoma sąsiadującymi wyrazami ciągu: $a_{n+1} / a_n$ ), $a_{n+1}$ - (n+1)-wszy wyraz ciągu (wyraz następujący po $a_n$ ), $a_n$ - n-ty wyraz ciągu.
Związek pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego	Show source $a_n=\sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}$	$a_n$ - n-ty wyraz ciągu, $a_{n+1}$ - (n+1)-wszy wyraz ciągu (wyraz następujący po $a_n$ ), $a_{n-1}$ - (n-1)-wszy wyraz ciągu (wyraz poprzedzający $a_n$ ).

Trochę informacji#

Ciąg liczbowy to funkcja, której argumentami są liczby naturalne (1, 2, 3, itd.):

$\begin{alignedat}{4} f(1) & = a_1 & = & \text{ pierwszy wyraz ciągu},\\ f(2) & = a_2 & = & \text{ drugi wyraz ciągu},\\ f(3) & = a_3 & = & \text{ trzeci wyraz ciągu},\\ ...\\ f(n-1) & = a_{n-1} & = & \text{ (n-1)-wszy wyraz ciągu},\\ f(n) & = a_{n} & = & \text{ n-ty wyraz ciągu},\\ f(n+1) & = a_{n+1} & = & \text{ (n+1)-wszy wyraz ciągu},\\ \text{itd.} \end{alignedat}$
Ciąg różni się od zbioru tym, że jego elementy są uporządkowane (kolejność wyrazów ma znaczenie).
Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość r:

$a_{n+1} = a_n + r$
gdzie:
- $a_n$ - dowolnie wybrany wyraz ciągu,
- $a_{n+1}$ - wyraz następujący po wyrazie $a_n$ ,
- $r$ - różnica ciągu arytmetycznego.

Jeżeli chciałbyś/abyś dowiedzieć się więcej o ciągu arytmetycznym sprawdź nasz inny kalkulator: Ciąg arytmetyczny.
Ciąg geometryczny to taki ciąg, w którym każda kolejna liczba jest q razy większa od poprzedniej:

$a_{n+1} = a_n \cdot q$
gdzie:
- $a_n$ - dowolnie wybrany wyraz ciągu,
- $a_{n+1}$ - wyraz następujący po wyrazie $a_n$ ,
- $q$ - iloraz ciągu geometrycznego.

Jeżeli chciałbyś/abyś dowiedzieć na temat ciągu geometrycznego zobacz na nasz inny kalkulator: Ciąg arytmetyczny.
Oprócz pojęcia ciągu liczbowego, można rozważać ciągi złożone z innych obiektów matematycznych np. funkcji. W takim przypadku mówilibyśmy o ciągach funkcyjnych.

Tagi i linki do tej strony#

Tagi:

tablice_matematyczne_ciagi · wzory_na_ciagi_liczbowe · wzory_na_ciag_arytmetyczny · wzory_na_ciag_geometryczny

Tagi do wersji anglojęzycznej:

mathematical_tables_sequences · mathematical_tables_progressions · numerical_sequences_formulas · arithmetic_sequnces_formulas · geometric_sequences_formulas

Jakie tagi ma ten kalkulator#

TABELA · MATEMATYKA · A -> Z (wszystkie)

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

https://calculla.pl/tablice_matematyczne_ciagi

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#