Tablice matematyczne: wzory na funkcję liniową
Tabele zawierają typowe wzory powiązane z funkcją liniową takie jak różne postacie zapisu (ogólna, kanoniczna, za pomocą pary punktów itp.) czy wzór na miejsce zerowe.

Wersja beta

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !
⌛ Wczytuję...

Różne postacie funkcji

NazwaWzórLegenda
Funkcja wykładnicza w postaci ogólnejShow sourcey=ax y={ a}^{ x}
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • aa - podstawa funkcji wykładniczej.
Funkcja wykładnicza o podstawie e (często zapisywana jako exp(x))Show sourceexp(x)=ex exp(x)={ e}^{ x}
  • exp(x)exp(x) - wartość funkcji eksponens,
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • ee - liczba e (stała matematyczna, podstawa logarytmu naturalnego).
Funkcja homograficzna w postaci ogólnejShow sourcey=a x+bc x+d y=\frac{ a~ x+ b}{ c~ x+ d}
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • a, b, c, d - współczynniki funkcji homograficznej (parametery definujące konkretną funkcję homograficzną, c ≠ 0).
Funkcja b/xShow sourcey=bx y=\frac{ b}{ x}
  • yy - wartość funkcji b/x (wartość funkcji f(x)=b/x dla podanego x-a, parametry a,d są równe zero, a parametr c wynosi 1),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • b - współczynnik b.
Funkcja liniowa w postaci ogólnejShow sourcey=a x+b y= a~ x+ b
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • aa, bb - współczynniki funkcji liniowej (współczynnik kierunkowy oraz wyraz wolny).
Funkcja liniowa w postaci kanonicznejShow sourcey=a(xx0)+y0 y=\mathrm{a}\left( x- x_0\right)+ y_0
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • aa - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem),
  • x0x_0, y0y_0 - współrzędne punktu.
Funkcja liniowa określona przez parę punktówShow sourceyy0xx0=y1y0x1x0\frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • x0x_0, y0y_0 - współrzędne pierwszego punktu,
  • x1x_1, y1y_1 - współrzędne drugiego punktu.
Miejsce zerowe funkcji liniowej na podstawie dwóch punktówShow sourcex=y0(x1x0)y1y0+x0 x=\frac{ y_0\cdot\left( x_1- x_0\right)}{ y_1- y_0}+ x_0
  • xx - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0),
  • x0x_0, y0y_0 - współrzędne pierwszego punktu,
  • x1x_1, y1y_1 - współrzędne drugiego punktu.
Funkcja kwadratowa w postaci ogólnejShow sourcey=a x2+b x+c y= a~{ x}^{2}+ b~ x+ c
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • aa, bb, cc - współczynniki funkcji kwadratowej (liczby stojące przed x2, x oraz wyraz wolny).
Funkcja kwadratowa w postaci iloczynowejShow sourcey=a(xx1) (xx2) y=\mathrm{a}\left( x- x_1\right)~\left( x- x_2\right)
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • aa - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x2),
  • x1x_1, x2x_2 - miejsca zerowe funkcji (argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równanie f(x)=0).
Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznejShow sourcey=a(xp)2+q y={\mathrm{a}\left( x- p\right)}^{2}+ q
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • aa - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x2),
  • pp, qq - współrzędne wierzchołka paraboli (w tym punkcie parabola osiąga swoje lokalne ekstremum).

Współczynnik kierunkowy prostej

NazwaWzórLegenda
Współczynnik kierunkowy na podstawie dwóch punktów leżących na prostejShow sourcea=y1y0x1x0 a=\frac{ y_1- y_0}{ x_1- x_0}
  • aa - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem),
  • x0x_0, y0y_0 - współrzędne pierwszego punktu,
  • x1x_1, y1y_1 - współrzędne drugiego punktu.
Współczynnik kierunkowy na podstawie jednego punktu leżącego na prostej (potrzebna jest znajomość wyrazu wolnego)Show sourcea=y0bx0 a=\frac{ y_0- b}{ x_0}
  • aa - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem),
  • bb - wyraz wolny (funkcja liniowa przecina oś OY w punkcie (0,b)),
  • x0x_0, y0y_0 - współrzędne punktu.

Miejsca zerowe funkcji (pierwiastki)

NazwaWzórLegenda
Miejsce zerowe funkcji homograficznejShow sourcex=ba x=\frac{- b}{ a}
  • xx - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0),
  • a - współczynnik a,
  • b - współczynnik b.
Miejsce zerowe funkcji liniowejShow sourcex=ba x=\frac{- b}{ a}
  • aa - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem),
  • bb - wyraz wolny (funkcja liniowa przecina oś OY w punkcie (0,b)),
  • xx - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0).
Miejsce zerowe funkcji liniowej w postaci kanonicznejShow sourcex=x0y0a x= x_0-\frac{ y_0}{ a}
  • xx - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0),
  • aa - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem),
  • x0x_0, y0y_0 - współrzędne punktu.
Miejsce zerowe funkcji liniowej na podstawie dwóch punktówShow sourcex=y0(x1x0)y1y0+x0 x=\frac{ y_0\cdot\left( x_1- x_0\right)}{ y_1- y_0}+ x_0
  • xx - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0),
  • x0x_0, y0y_0 - współrzędne pierwszego punktu,
  • x1x_1, y1y_1 - współrzędne drugiego punktu.
Pierwsze miejsce zerowe funkcji kwadratowejShow sourcex1=bΔ2 a x_1=\frac{- b-\sqrt{ \Delta}}{2~ a}
  • x1x_1 - pierwsze miejsce zerowe funkcji,
  • bb - współczynnik przy pierwszej potędze (liczba stojąca przed x),
  • aa - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x2),
  • Δ\Delta - wyznacznik trójmianu kwadratowego.
Drugie miejsce zerowe funkcji kwadratowejShow sourcex2=b+Δ2 a x_2=\frac{- b+\sqrt{ \Delta}}{2~ a}
  • x2x_2 - drugie miejsce zerowe funkcji,
  • bb - współczynnik przy pierwszej potędze (liczba stojąca przed x),
  • aa - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x2),
  • Δ\Delta - wyznacznik trójmianu kwadratowego.

Trochę informacji

  • Funkcja liniowa to funkcja dająca się przedstawić w następującej postaci:
    y=a x+b y= a~ x+ b
    gdzie:
    • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
    • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
    • aa, bb - współczynniki funkcji liniowej (współczynnik kierunkowy oraz wyraz wolny).
  • Wykresem funkcji liniowej jest prosta.
  • Współczynnik kierunkowy a określa stopień nachylenia prostej do osi OX ("poziomej"). W zależności od wartości jakie przyjmuje możemy wyróżnić trzy przypadki:
    • gdy współczynnik kierunkowy przyjmuje wartość zero (a = 0) - funkcja redukuje się do funkcji stałej i jej wykresem jest prosta równoległa do osi OX,
    • gdy współczynnik kierunkowy przyjmuje wartość dodatnią (a > 0) - funkcja jest rosnąca, jej wykresem jest prosta podążająca w kierunku prawego górnego rogu wykresu,
    • gdy współczynnik kierunkowy przyjmuje wartość ujemną (a < 0) - funkcja jest malejąca, jej wykresem jest prosta podążająca w kierunku prawego dolnego rogu wykresu.
  • Funkcja liniowa może mieć jedno, nieskończenie wiele lub brak miejsc zerowych. Uzależnione jest to od wartości parametrów a i b:
    • gdy wspóczynnik kierunkowy a jest różny od zera (a ≠ 0) - funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe, wykres funkcji przecina oś OX jeden raz w punkcie:
      x=ba x=\frac{- b}{ a}
    • gdy współczynnik kierunkowy a wynosi zero, ale wyraz wolny b nie (a=0 i b≠0) - funkcja nie ma żadnego miejsca zerowego, jej wykres nie przecina osi OX, funkcja redukuje się do postaci:
      y=by = b
    • jeżeli zarówno współczynnik kierunkowy a jak i wyraz wolny b są zerami (a=0 i b=0) - funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, jej wykres pokrywa się z osią OX:
      y=0y = 0
  • Funkcja liniowa jest szczególnym przypadkiem funkcji wielomianowej, której rząd wynosi 0 (funkcja stała, gdy a=0) lub 1.

Tagi i linki do tej strony

Jakie tagi ma ten kalkulator

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.