Tabela zawiera typowe własności i wzory związane z logarytmami (funkcją logarytmiczną).

Wersja beta#

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !

⌛ Wczytuję...

Logarytmy: wzory ogólne#

Nazwa	Wzór
Logarytm z jeden	Show source $\log_{a} 1 = 0$
Logarytm z iloczynu	Show source $\log_{a} \left(x \cdot y \right) = \log_{a} x + \log_{a} y$
Logarytm z ilorazu	Show source $\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y$
Suma logarytmów o tej samej podstawie	Show source $\log_{a} x + \log_{a} y = \log_{a} \left(x \cdot y \right)$
Różnica logarytmów o tej samej podstawawie	Show source $\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a} \frac{x}{y}$
Logarytm z potęgi	Show source $\log_{a} x^n = n \log_{a} x$
Logarytm z pierwiastka n-tego stopnia	Show source $\log_{a} \left( \sqrt[n]{x} \right) = \frac{\log_{a} x}{n}$
Zamiana podstawy logarytmu	Show source $\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$

Logarytm dziesiętny#

Nazwa	Wzór
Logarytm dziesiętny z 1	Show source $\log_{10} 1 = 0$
Logarytm dziesiętny z 10	Show source $\log_{10} 10 = 1$
Logarytm dziesiętny z potęgi liczby 10	Show source $\log_{10} 10^n = n$
Zamiana logarytmu dziesiętnego na naturalny	Show source $\ln x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} e} \approx 2.3026 \cdot \log_{10} x$
Zamiana logarytmu naturalnego na dziesiętny	Show source $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10} \approx 0.4343 \cdot \ln x$

Logarytm naturalny#

Nazwa	Wzór
Logarytm naturalny z 1	Show source $\ln e = 0$
Logarytm naturalny z liczby e	Show source $\ln e = 1$
Logarytm naturalny z potęgi liczby e	Show source $\ln e^n = n$
Zamiana logarytmu dziesiętnego na naturalny	Show source $\ln x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} e} \approx 2.3026 \cdot \log_{10} x$
Zamiana logarytmu naturalnego na dziesiętny	Show source $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10} \approx 0.4343 \cdot \ln x$

Trochę informacji#

Obliczanie logarytmu jest operacją odwrotną do potęgowania.
Aby obliczyć logarytm o podstawie a z liczby x zadajemy sobie pytanie: "do jakiej potęgi musimy podnieść podstawę aby otrzymać x".
ⓘ Przykład: Logarytm dziesiętny (o podstawie 10) z liczby sto (100), to dwa (2), ponieważ aby otrzymać tę liczbę (100), musielibyśmy podnieść podstawę logarytmu (10) do drugiej potęgi. Formalnie możemy ten fakt zapisać w następujący sposób:
$\log_{10}100 = 2 \Leftrightarrow 10^2 = 100$
Formalnie logarytm jest operacją dwuargumentową, gdzie pierwszy argument to podstawa logarytmu, a drugi liczba, którą logarytmujemy. W ogólności możemy napisać:

$\log_{a} x = b \Leftrightarrow a^b = x$
gdzie:
- a - podstawa logarytmu,
- x - liczba, którą logarytmujemy,
- b - wynik logarytmowania
Logarytm oznacza się najczęściej symbolem log lub lg.
Czasami dla uproszczenia zapisu pomija się podstawę logarytmu. Wtedy domyślnie przyjmujemy, że podstawą jest liczba dziesięć (10).
Szczególnym rodzajem logarytmu jest logarytm naturalny. Jego podstawą jest tzw. liczba e (zwana też liczbą Eulera):

$e = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots$
W ogólności logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji potęgowej $a^x$ . A zatem logarytm naturalny jest funkcją odwrotną do funkcji wykładnicznej $e^x$ .
Praktycznym aspektem logarytmu jest fakt, że pozwala on zastąpić mnożenie dodawaniem, co często upraszcza obliczenia:

$\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$
Logarytm jest często wykorzystywany w naukach inżynieryjnych i przyrodniczych. Dzieje się tak, ponieważ wyrażenia które mają z natury charakter wykładniczy (lub ogólniej: potęgowy), po zlogarytmowaniu stają się wyrażeniami liniowymi. Z tego powodu wiele praw np. fizycznych lub chemicznych zapisanych jest przy użyciu logarytmu.

Tagi i linki do tej strony#

Tagi:

logarytm · logarytm_naturalny · logarytm_dziesietny · wlasnosci_funkcji_logarytmicznej

Tagi do wersji anglojęzycznej:

logarithm · natural_logarithm · decimal_logarithm · logarithm_function_properties

Jakie tagi ma ten kalkulator#

TABELA · MATEMATYKA · A -> Z (wszystkie)

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

https://calculla.pl/logarytm

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#