Tablice matematyczne: popularne wzory ze statystyki
Tabela zawiera typowe wzory używane podczas statystycznej obróbki danych takie jak różne rodzaje średnich, odchylenie standardowe czy wariancja.

Wersja beta

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !
⌛ Wczytuję...

Błąd przybliżenia

NazwaWzórLegenda
Błąd bezwzględnyShow sourceΔx=xx0 \Delta x=\left| x- x_0\right|
  • Δx\Delta x - błąd bezwzględny,
  • x - wartość mierzona (wynik pomiaru, obliczeń lub przybliżenia),
  • x0x_0 - wartość odniesienia (wzorcowa wartość, względem której liczony jest błąd).
Błąd względnyShow sourceδxwzgl.=xx0x0 \delta x_{wzgl.}=\left|\frac{ x- x_0}{ x_0}\right|
  • δxwzgl.\delta x_{wzgl.} - błąd względny,
  • x - wartość mierzona (wynik pomiaru, obliczeń lub przybliżenia),
  • x0x_0 - wartość odniesienia (wzorcowa wartość, względem której liczony jest błąd).

Wartość średnia

NazwaWzórLegenda
Średnia arytmetyczna, wartość oczekiwanaShow sourcex=x1+x2++xnn\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
  • x\overline{x} - średnia artytmetyczna (suma liczb podzielona przez ich ilość),
  • x1x_1 - pierwsza liczba w zbiorze,
  • x2x_2 - druga liczba w zbiorze,
  • xnx_n - n-ta liczba w zbiorze,
  • n - ilość liczb w zbiorze.
Średnia geometrycznaShow sourcexgeom.=x1x2xnn\overline{x}_{geom.} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dotso \cdot x_n}
  • xgeom.\overline{x}_{geom.} - średnia geometryczna,
  • x1x_1 - pierwsza liczba w zbiorze,
  • x2x_2 - druga liczba w zbiorze,
  • xnx_n - n-ta liczba w zbiorze,
  • n - ilość liczb w zbiorze.
Średnia ważonaShow sourcexw.=w1x1+w2x2++wnxnw1+w2++wn\overline{x}_{w.} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}
  • xw.\overline{x}_{w.} - średnia ważona,
  • x1x_1 - pierwsza liczba w zbiorze,
  • x2x_2 - druga liczba w zbiorze,
  • xnx_n - n-ta liczba w zbiorze,
  • w1w_1 - waga przypisana do pierwszej liczby w zbiorze,
  • w2w_2 - waga przypisana do drugiej liczby w zbiorze,
  • wnw_n - waga przypisana do n-tej liczby w zbiorze.
Średnia harmonicznaShow sourcexharm.=n1x1+1x2++1xn\overline{x}_{harm.} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}
  • xharm.\overline{x}_{harm.} - średnia harmoniczna,
  • x1x_1 - pierwsza liczba w zbiorze,
  • x2x_2 - druga liczba w zbiorze,
  • xnx_n - n-ta liczba w zbiorze,
  • n - ilość liczb w zbiorze.
Średnia kwadratowa (RMS)Show sourceRMS(x)=x12+x22++xn2nRMS(x) = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}}
  • RMS(x)RMS(x) - średnia kwadratowa,
  • x1x_1 - pierwsza liczba w zbiorze,
  • x2x_2 - druga liczba w zbiorze,
  • xnx_n - n-ta liczba w zbiorze,
  • n - ilość liczb w zbiorze.
Średnia kwadratowa ważonaShow sourcexSKW=w1x12+w2x22++wnxn2w1+w2++wnx_{SKW} = \sqrt{\frac{w_1 x_1^2 + w_2 x_2^2 + \cdots + w_n x_n^2}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}}
  • xSKWx_{SKW} - średnia kwadratowa ważona,
  • x1x_1 - pierwsza liczba w zbiorze,
  • x2x_2 - druga liczba w zbiorze,
  • xnx_n - n-ta liczba w zbiorze,
  • w1w_1 - waga przypisana do pierwszej liczby w zbiorze,
  • w2w_2 - waga przypisana do drugiej liczby w zbiorze,
  • wnw_n - waga przypisana do n-tej liczby w zbiorze.
Średnia potęgowa, średnia uogólniana, średnia HölderaShow sourceμk=x1k+x2k++xnknn\mu_k = \sqrt[n]{\frac{x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k}{n}}
  • μk\mu_k - średnia potęgowa k-tego rzędu,
  • x1x_1 - pierwsza liczba w zbiorze,
  • x2x_2 - druga liczba w zbiorze,
  • xnx_n - n-ta liczba w zbiorze,
  • n - ilość liczb w zbiorze,
  • k - rząd średniej potęgowej.
Średnia potęgowa ważonaShow sourceμk=w1x1k+w2x2k++wnxnkw1+w2++wnn\mu_k = \sqrt[n]{\frac{w_1 x_1^k + w_2 x_2^k + \cdots + w_n x_n^k}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}}
  • μk\mu_k - średnia potęgowa k-tego rzędu,
  • x1x_1 - pierwsza liczba w zbiorze,
  • x2x_2 - druga liczba w zbiorze,
  • xnx_n - n-ta liczba w zbiorze,
  • w1w_1 - waga przypisana do pierwszej liczby w zbiorze,
  • w2w_2 - waga przypisana do drugiej liczby w zbiorze,
  • wnw_n - waga przypisana do n-tej liczby w zbiorze,
  • n - ilość liczb w zbiorze,
  • k - rząd średniej potęgowej.

Miary zmienności

NazwaWzórLegenda
Odchylenie standardoweShow sourceσ=(x1x)2+(x2x)2++(xnx)2n\sigma = \sqrt{\frac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2}{n}}
  • σ\sigma - odchylenie standardowe,
  • x\overline{x} - średnia artytmetyczna (suma liczb podzielona przez ich ilość),
  • x1x_1 - pierwsza liczba w zbiorze,
  • x2x_2 - druga liczba w zbiorze,
  • xnx_n - n-ta liczba w zbiorze,
  • n - ilość liczb w zbiorze.
WariancjaShow sourceσ2=(x1x)2+(x2x)2++(xnx)2n\sigma^2 = \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2}{n}
  • σ2\sigma^2 - wariancja,
  • x\overline{x} - średnia artytmetyczna (suma liczb podzielona przez ich ilość),
  • x1x_1 - pierwsza liczba w zbiorze,
  • x2x_2 - druga liczba w zbiorze,
  • xnx_n - n-ta liczba w zbiorze,
  • n - ilość liczb w zbiorze.

Trochę informacji

  • Statystyka dostarcza narzędzi do badania dużych zbiorów danych.
  • Przedmiotem badań statystycznych nie są pojedyncze wydarzenia (np. jeden rzut monetą), ale właśności zbioru jako całości. W tym sensie, zbiór danych (np. populacja ludności) jest nowym bytem i posiada swoje nowe własności, które można badać.
  • Przykładowe obszary zastosowania metod statystycznych to między innymi:
    • analiza danych makroekonomicznych na temat sytuacji gospodarczej w danym państwie lub regionie (np. aby podejmować optymalne decyzje polityczne, przynajmniej w teorii...),
    • testy psychometryczne stosowane przez psychologów (np. aby sklasyfikować nieznanego pacjenta i szybciej dostosować sposób kontaktu z nim),
    • analiza danych medycznych na temat częstości występowania wybranych schorzeń (np. żeby ocenić ryzyko powikłań po danym zabiegu),
    • termodynamika statystyczna, czyli próba przewidywania własności układu makroskopowego (np. naczynia z gazem) na podstawie własności stanu mikroskopowego (np. pojedynczych atomów),
    • itp.
  • Jednymi z najczęściej stosowanych pojęć statystycznych jest wartość średnia. Istnieje wiele różnych rodzajów średnich, które różnią się definicją i obszarem gdzie są stosowane. Przykładowe definicje średnich z n liczb o wartościach x1x_1, x2x_2, x3x_3, ... to:
    • średnia arytmetyczna - suma liczb podzielona przez ich ilość, najczęściej stosowany rodzaj średniej,
      x=x1+x2++xnn\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
    • średnia geometryczna - pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu liczb, gdzie n oznacza liczbę liczb w zestawie,
      xgeom.=x1x2xnn\overline{x}_{geom.} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dotso \cdot x_n}
    • średnia kwadratowa - stosowana tam gdzie znak uśrednianych liczb nie jest istotny np. podczas wyrażania mocy akustycznej (→ RMS),
      xkw.=x12+x22++xn2n\overline{x}_{kw.} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}}
    • średnia harmoniczna - w której bierzemy pod uwagę odwrotności liczb:
      xharm.=n1x1+1x2++1xn\overline{x}_{harm.} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}
  • W ogólnym przypadku różne rodzaje średnich przyjmują różne wartości dla tych samych danych. Jedyny przypadek kiedy wszystkie rodzaje średnich dadzą identyczny wynik to sytuacja, w której wszystkie liczby są takie same. Zależności pomiędzy różnymi rodzajami średnich zostały systematycznie zbadane przez francuskiego matematyka Augustina Louisa Cauchy-ego. Z tego powodu uszeregowanie średnich względem rosnących wartości nazywa się czasami nierównością Cauchy’ego.
  • Czasami zdarza się, że chcemy wyróżnić wybrane elementy w zbiorze np. kiedy dane bieżące uznajemy za najważniejsze, a przeszłe za mniej istotne. Wówczas stosuje się tzw. średnie ważone. Elementy zbioru, które mają przypisaną najwyższą wagę, mają największy wpływ na całą średnią i odwrotnie. Większość rodzajów średnich posiada swoje ważone odpowiedniki np. ważona średnia arytmetyczna przyjmuje postać:
    xw=w1x1+w2x2++wnxnw1+w2++wn\overline{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}
    gdzie:
    • xw\overline{x}_w - średnia ważona z liczb x1x_1, x2x_2, x3x_3, ..., itd.,
    • xnx_n - n-ta liczba w zbiorze,
    • wnw_n - waga przypisana do n-tej liczby, waga zero oznacza, że nie ma ona żadnego wpływu, czym większa waga tym dana wartość jest uznawana za istotniejszą,
    • nn - ilość liczb w zbiorze.
  • Innymi często stosowanymi wielkościami statystycznymi są różnego rodzaju miary zmienności. Prosto mówiąc, czym dane są bardziej zróżnicowane i odbiegają od średniej, tym większą zmienność im przypiszemy. W szczególności, jeżeli wszystkie wartości w zbiorze będą identyczne, wtedy powiemy, że nie występuje w nim zmienność. Jedną z najpopularniejszych miar zmienności jest odchylenie standardowe:
    σ=(x1x)2+(x2x)2++(xnx)2n\sigma = \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2}{n}
    gdzie:
    • σ\sigma - odchylenie standardowe, określa jak bardzo dane w zbiorze odbiegają od średniej,
    • x\overline{x} - średnia z wszystkich liczb w zbiorze,
    • xnx_n - n-ta liczba w zbiorze,
    • nn - ilość liczb w zbiorze.
  • W przypadku danych pomiarowych lub rozłożonych w czasie zmienność może być utożsamiana z niepewnością lub ryzykiem. Przykładowo zakup akcji spółek giełdowych, dla których odchylenie standardowe będzie wysokie, będzie obarczone większym ryzykiem. W praktyce znaczy to, że kurs akcji takiej spółki jest bardziej podatny na wahania. Potocznie powiemy, że kurs akcji takiej spółki jest mniej przewidywalny.

Tagi i linki do tej strony

Jakie tagi ma ten kalkulator

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.