Tablice matematyczne: tożsamości trygonometryczne
Tabele zawierają typowe wzory i tożsamości trygonometryczne takie jak jedynka trygonometryczna czy wzór na sinusa kąta połówkowego.

Wersja beta

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !
⌛ Wczytuję...

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

NazwaWzórLegenda
Definicja tangensa przy użyciu sinusa i kosinusaShow sourcetg(α)=sin(α)cos(α)tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Definicja kotangensa przy użyciu kosinusa i sinusaShow sourcectg(α)=cos(α)sin(α)ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Tangens jako odwrotność kotangensaShow sourcetg(α)=1ctg(α)tg(\alpha) = \frac{1}{ctg(\alpha)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta.
Kotangens jako odwrotność tangensaShow sourcectg(α)=1tg(α)ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta.
Jedynka trygonometrycznaShow sourcesin2(α)+cos2(α)=1sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1
  • α\alpha - miara kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Mnożenie tangensa przez kotangens tego samego kątaShow sourcetg(α)ctg(α)=1tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta.

Tożsamości zawierające kąt podwojony

NazwaWzórLegenda
Sinus kąta podwojonegoShow sourcesin(2α)=2sin(α)cos(α)sin(2 \alpha) = 2 sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)
  • α\alpha - miara kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Kosinus kąta podwojonegoShow sourcecos(2α)=cos2(α)sin2(α)=2cos2(α)1cos(2 \alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) = 2 cos^2(\alpha) - 1
  • α\alpha - miara kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Tangens kąta podwojonegoShow sourcetg(2α)=2tg(α)1tg2(α)tg(2 \alpha) = \frac{2 tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta.
Kotangens kąta podwojonegoShow sourcectg(2α)=ctg2(α)12ctg(α)ctg(2 \alpha) = \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{2 ctg(\alpha)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta.

Tożsamości zawierające połowę kąta

NazwaWzórLegenda
Sinus połowy kątaShow sourcesin(α2)=±1cos(α)2sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos(\alpha)}{2}}
  • α\alpha - miara kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Kosinus połowy kątaShow sourcecos(α2)=±1+cos(α)2cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + cos(\alpha)}{2}}
  • α\alpha - miara kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Tangens połowy kątaShow sourcetg(α2)=1cos(α)sin(α)tg\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - cos(\alpha)}{sin(\alpha)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Kotangens połowy kątaShow sourcectg(α2)=1+cos(α)sin(α)ctg\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + cos(\alpha)}{sin(\alpha)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.

Tożsamości zawierające sumę kątów

NazwaWzórLegenda
Sinus sumy kątówShow sourcesin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) + cos(\alpha) sin(\beta)
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Kosinus sumy kątówShow sourcecos(α+β)=cos(α)cos(β)sin(α)sin(β)cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta)
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Tangens sumy kątówShow sourcetg(α+β)=tg(α)+tg(β)1tg(α)tg(β)tg(\alpha + \beta) = \frac{tg(\alpha) + tg(\beta)}{1 - tg(\alpha) \cdot tg(\beta)}
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta.
Kotangens sumy kątówShow sourcectg(α+β)=ctg(α)ctg(β)1ctg(α)+ctg(β)ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg(\alpha) \cdot ctg(\beta) - 1}{ctg(\alpha) + ctg(\beta)}
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta.

Tożsamości zawierające różnicę kątów

NazwaWzórLegenda
Sinus różnicy kątówShow sourcesin(αβ)=sin(α)cos(β)cos(α)sin(β)sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) - cos(\alpha) sin(\beta)
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Kosinus różnicy kątówShow sourcecos(αβ)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) + sin(\alpha) sin(\beta)
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Tangens różnicy kątówShow sourcetg(αβ)=tg(α)tg(β)1+tg(α)tg(β)tg(\alpha - \beta) = \frac{tg(\alpha) - tg(\beta)}{1 + tg(\alpha) \cdot tg(\beta)}
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta.
Kotangens różnicy kątówShow sourcectg(αβ)=ctg(α)ctg(β)+1ctg(α)ctg(β)ctg(\alpha - \beta) = \frac{ctg(\alpha) \cdot ctg(\beta) + 1}{ctg(\alpha) - ctg(\beta)}
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta.

Tożsamości zawierające sumę funkcji trygonometrycznych

NazwaWzórLegenda
Suma sinusówShow sourcesin(α)+sin(β)=2sin(α+β2)cos(αβ2)sin(\alpha) + sin(\beta) = 2 sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Suma kosinusówShow sourcecos(α)+cos(β)=2cos(α+β2)cos(αβ2)cos(\alpha) + cos(\beta) = 2 cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Suma tangensówShow sourcetg(α)+tg(β)=sin(α+β)cos(α)cos(β)tg(\alpha) + tg(\beta) = \frac{sin(\alpha + \beta)}{cos(\alpha) \cdot cos(\beta)}
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Suma kotangensówShow sourcectg(α)+ctg(β)=sin(α+β)sin(α)sin(β)ctg(\alpha) + ctg(\beta) = \frac{sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta.

Tożsamości zawierające różnicę funkcji trygonometrycznych

NazwaWzórLegenda
Różnica sinusówShow sourcesin(α)sin(β)=2sin(αβ2)cos(α+β2)sin(\alpha) - sin(\beta) = 2 sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Różnica kosinusówShow sourcecos(α)cos(β)=2sin(α+β2)sin(αβ2)cos(\alpha) - cos(\beta) = -2 sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cdot sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Różnica tangensówShow sourcetg(α)tg(β)=sin(αβ)cos(α)cos(β)tg(\alpha) - tg(\beta) = \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos(\alpha) \cdot cos(\beta)}
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Różnica kotangensówShow sourcectg(α)ctg(β)=sin(αβ)sin(α)sin(β)ctg(\alpha) - ctg(\beta) = \frac{sin(\alpha - \beta)}{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta.

Okresowość funkcji trygonometrycznych

NazwaWzórLegenda
Okresowość funkcji sinusShow sourcesin(α)=sin(α+2kπ)sin(\alpha) = sin(\alpha + 2 k \pi)
  • α\alpha - miara kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta.
Okresowość funkcji kosinusShow sourcecos(α)=cos(α+2kπ)cos(\alpha) = cos(\alpha + 2 k \pi)
  • α\alpha - miara kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Okresowość funkcji tangensShow sourcetg(α)=tg(α+kπ)tg(\alpha) = tg(\alpha + k \pi)
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta.
Okresowość funkcji kotangensShow sourcectg(α)=ctg(α+kπ)ctg(\alpha) = ctg(\alpha + k \pi)
  • α\alpha - miara kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta.

Przedstawienie funkcji trygonometrycznych przy pomocy funkcji cosinus

NazwaWzórLegenda
Sinus przedstawiony przy pomocy funkcji kosinusShow sourcesin(α)=1cos2(α)\left|sin(\alpha)\right| = \sqrt{1 - cos^2(\alpha)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Tangens przedstawiony przy pomocy funkcji kosinusShow sourcetg(α)=1cos2(α)cos(α)\left|tg(\alpha)\right| = \frac{\sqrt{1 - cos^2(\alpha)}}{|cos(\alpha)|}
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Kotangens przedstawiony przy pomocy funkcji kosinusShow sourcectg(α)=cos(α)1cos2(α)\left|ctg(\alpha)\right| = \frac{|cos(\alpha)|}{\sqrt{1 - cos^2(\alpha)}}
  • α\alpha - miara kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.

Przedstawienie funkcji trygonometrycznych przy pomocy funkcji sinus

NazwaWzórLegenda
Kosinus przedstawiony przy pomocy funkcji sinusShow sourcecos(α)=1sin2(α)\left|cos(\alpha)\right| = \sqrt{1 - sin^2(\alpha)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta.
Tangens przedstawiony przy pomocy funkcji sinusShow sourcetg(α)=sin(α)1sin2(α)\left|tg(\alpha)\right| = \frac{|sin(\alpha)|}{\sqrt{1 - sin^2(\alpha)}}
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta.
Kotangens przedstawiony przy pomocy funkcji sinusShow sourcectg(α)=1sin2(α)sin(α)\left|ctg(\alpha)\right| = \frac{\sqrt{1 - sin^2(\alpha)}}{|sin(\alpha)|}
  • α\alpha - miara kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta.

Przedstawienie funkcji trygonometrycznych przy pomocy tangensa kąta połówkowego

NazwaWzórLegenda
Sinus przedstawiony przy pomocy tangensa połowy kątaShow sourcesin(α)=2tg(α2)1+tg2(α2)sin(\alpha) = \frac{2 tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta.
Cosinus przedstawiony przy pomocy tangensa połowy kątaShow sourcecos(α)=1tg2(α2)1+tg2(α2)cos(\alpha) = \frac{1 - tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta.
Kotangens przedstawiony przy pomocy tangensa połowy kątaShow sourcetg(α)=2tg(α2)1tg2(α2)tg(\alpha) = \frac{2 tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 - tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta.

Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami

NazwaWzórLegenda
Zależności pomiędzy sinusem a kosinusemShow sourcesin(α)=cos(π2α)sin(\alpha) = cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)
  • α\alpha - miara kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Zależności pomiędzy kosinusem a sinusemShow sourcecos(α)=sin(π2α)cos(\alpha) = sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)
  • α\alpha - miara kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Zależności pomiędzy tangensem a kotangensemShow sourcetg(α)=ctg(π2α)tg(\alpha) = ctg\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta.
Zależności pomiędzy kotangensem a tangensemShow sourcectg(α)=tg(π2α)ctg(\alpha) = tg\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta.

Parzystość funkcji trygonometrycznych

NazwaWzórLegenda
Sinus kąta ujemnego (funkcja nieparzysta)Show sourcesin(α)=sin(α)sin(-\alpha) = -sin(\alpha)
  • α\alpha - miara kąta,
  • sin - funkcja sinus kąta.
Kosinus kąta ujemnego (funkcja parzysta)Show sourcecos(α)=cos(α)cos(-\alpha) = cos(\alpha)
  • α\alpha - miara kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta.
Tangens kąta ujemnego (funkcja nieparzysta)Show sourcetg(α)=tg(α)tg(-\alpha) = -tg(\alpha)
  • α\alpha - miara kąta,
  • tg - funkcja tangens kąta.
Kotangens kąta ujemnego (funkcja nieparzysta)Show sourcectg(α)=ctg(α)ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)
  • α\alpha - miara kąta,
  • ctg - funkcja kotangens kąta.

Wzory Eulera

NazwaWzórLegenda
Wzór EuleraShow sourceeix=cos(x)+isin(x)e^{i x} = cos(x) + i \cdot sin(x)
Sinus w postaci liczby zespolonejShow sourcesin(x)=eixeix2isin(x) = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2i}
Kosinus w postaci liczby zespolonejShow sourcecos(x)=eix+eix2cos(x) = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2}
Tangens w postaci liczby zespolonejShow sourcetg(x)=eixeix(eix+eix)itg(x) = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{\left(e^{i x} + e^{-i x}\right) i}
Kotangens w postaci liczby zespolonejShow sourcectg(x)=eix+eixeixeixictg(x) = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{e^{i x} - e^{-i x}} i

Wzór De Moivre'a

NazwaWzórLegenda
Wzór de Moivre'aShow sourcecos(nx)+isin(nx)=(cos(x)+isin(x))ncos(n x) + i \cdot sin(n x) = \left(cos(x) + i \cdot sin(x)\right)^n
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • i - jednostka urojona (liczba zespolona, pierwiastek z liczby -1).
Wzór de Moivre'a (wzór ogólny)Show source[r(cos(x)+isin(x)]n=rn(cos(nx)+isin(nx))\left[r(cos(x) + i \cdot sin(x)\right]^n = r^n\left(cos(n x) + i \cdot sin(n x)\right)
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • i - jednostka urojona (liczba zespolona, pierwiastek z liczby -1).

Tożsamości zawierające iloczyn funkcji trygonometrycznych

NazwaWzórLegenda
Iloczyn dwóch kosinusówShow sourcecos(α)cos(β)=cos(αβ)+cos(α+β)2cos(\alpha) \cdot cos(\beta) = \frac{cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta)}{2}
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta.
Iloczyn dwóch sinusówShow sourcesin(α)sin(β)=cos(αβ)cos(α+β)2sin(\alpha) \cdot sin(\beta) = \frac{cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)}{2}
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta.
Iloczyn sinusa i kosinusaShow sourcesin(α)cos(β)=sin(αβ)+sin(α+β)2sin(\alpha) \cdot cos(\beta) = \frac{sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta)}{2}
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta.
Iloczyn trzech sinusówShow sourcesin(α)sin(β)sin(γ)=sin(α+βγ)+sin(β+γα)+sin(γ+αβ)sin(α+β+γ)4sin(\alpha) \cdot sin(\beta) \cdot sin(\gamma) = \frac{sin(\alpha + \beta - \gamma) + sin(\beta + \gamma - \alpha) + sin(\gamma + \alpha - \beta) - sin(\alpha + \beta + \gamma)}{4}
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • γ\gamma - miara trzeciego kąta.
Iloczyn dwóch sinusów i jednego kosinusaShow sourcesin(α)sin(β)cos(γ)=cos(α+βγ)+cos(β+γα)+cos(γ+αβ)cos(α+β+γ)4sin(\alpha) \cdot sin(\beta) \cdot cos(\gamma) = \frac{-cos(\alpha + \beta - \gamma) + cos(\beta + \gamma - \alpha) + cos(\gamma + \alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta + \gamma)}{4}
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • γ\gamma - miara trzeciego kąta.
Iloczyn sinusa i dwóch kosinusówShow sourcesin(α)cos(β)cos(γ)=sin(α+βγ)sin(β+γα)+sin(γ+αβ)+sin(α+β+γ)4sin(\alpha) \cdot cos(\beta) \cdot cos(\gamma) = \frac{sin(\alpha + \beta - \gamma) - sin(\beta + \gamma - \alpha) + sin(\gamma + \alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta + \gamma)}{4}
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • γ\gamma - miara trzeciego kąta.
Iloczyn trzech kosinusówShow sourcecos(α)cos(β)cos(γ)=cos(α+βγ)+cos(β+γα)+cos(γ+αβ)+cos(α+β+γ)4cos(\alpha) \cdot cos(\beta) \cdot cos(\gamma) = \frac{cos(\alpha + \beta - \gamma) + cos(\beta + \gamma - \alpha) + cos(\gamma + \alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta + \gamma)}{4}
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta,
  • γ\gamma - miara trzeciego kąta.

Tożsamości zawierające potęgowanie funkcji trygonometrycznych

NazwaWzórLegenda
Sinus do kwadratuShow sourcesin2(α)=1cos(2α)2sin^2(\alpha) = \frac{1 - cos(2 \alpha)}{2}
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • α\alpha - miara kąta.
Kosinus do kwadratuShow sourcecos2(α)=1+cos(2α)2cos^2(\alpha) = \frac{1 + cos(2 \alpha)}{2}
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • α\alpha - miara kąta.
Sinus kwadrat razy kosinus kwadratShow sourcesin2(α)cos2(α)=1cos(4α)8=sin2(2α)4sin^2(\alpha) \cdot cos^2(\alpha) = \frac{1 - cos(4 \alpha)}{8} = \frac{sin^2(2 \alpha)}{4}
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • α\alpha - miara kąta.
Sinus do sześcianuShow sourcesin3(α)=3sin(α)sin(3α)4sin^3(\alpha) = \frac{3 sin(\alpha) - sin(3 \alpha)}{4}
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • α\alpha - miara kąta.
Kosinus do sześcianuShow sourcecos3(α)=3cos(α)+cos(3α)4cos^3(\alpha) = \frac{3 cos(\alpha) + cos(3 \alpha)}{4}
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • α\alpha - miara kąta.
Sinus do czwartej potęgiShow sourcesin4(α)=cos(4α)4cos(2α)+38sin^4(\alpha) = \frac{cos(4 \alpha) - 4 cos(2 \alpha) + 3}{8}
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • α\alpha - miara kąta.
Kosinus do czwartej potęgiShow sourcecos4(α)=cos(4α)+4cos(2α)+38cos^4(\alpha) = \frac{cos(4 \alpha) + 4 cos(2 \alpha) + 3}{8}
  • cos - funkcja kosinus kąta,
  • α\alpha - miara kąta.
Różnica drugich potęg sinusówShow sourcesin2(α)sin2(β)=sin(α+β)sin(αβ)sin^2(\alpha) - sin^2(\beta) = sin(\alpha + \beta) \cdot sin(\alpha - \beta)
  • sin - funkcja sinus kąta,
  • α\alpha - miara pierwszego kąta,
  • β\beta - miara drugiego kąta.

Trochę informacji

  • Tożsamości trygonometryczne to różnego rodzaju zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.
  • Nie jest to więc pojęcie ścisłe, a to czy dane wyrażenie zaliczymy do tożsamości trygonometrycznych czy nie ma charakter czysto praktyczny.
  • Typowe tożsamości trygonometryczne to między innymi:
    • jedynka trygonometryczna, nazywana czasem trygonometrycznym twierdzeniem Pitagorasa:
      sin2(α)+cos2(α)=1sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1
    • wyrażenie jednej funkcji trygonometrycznej za pomocą innej np. przedstawienie tangensa jako stosunek sinusa i kosinusa:
      tg(α)=sin(α)cos(α)tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}
    • wyrażenia na wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów połówkowych lub wielokrotności kąta np.:
      sin(2α)=2sin(α)cos(α)sin(2 \alpha) = 2 sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)
    • wyrażenia na sumę, różnicę lub iloczyn funkcji trygonometrycznych np.
      sin(α)+sin(β)=2sin(α+β2)cos(αβ2)sin(\alpha) + sin(\beta) = 2 sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)
    • wyrażenia na wartość funkcji trygonometrycznej dla sumy kątów lub różnicy kątów np.:
      sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) + cos(\alpha) sin(\beta)
    • itp.
  • ⓘ Wskazówka: Jeśli interesują Cię zagadnienia związane z trygonometrią możesz rzucić okiem na nasze inne kalkulatory:
    • wzory redukcyjne - tabela tzw. wzorów redukcyjnych ułatwiających obliczenie wartości funkcji trygonometrycznych dla mniej popularnych kątów,
    • wartości funkcji trygonometrycznych - tabela zawierająca wartości funkcji trygonometrycznych dla najbardziej typowych kątów np. sin 90 stopni,
    • tożsamości trygonometryczne - zestawienie różnych, mniej lub bardziej popularnych, zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.

Tagi i linki do tej strony

Jakie tagi ma ten kalkulator

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.