Tabele zawierają różne wzory skróconego mnożenia. Przedstawione są zarówno typowe przypadki np. (a + b)² (kwadrat sumy) jak i przypadki ogólne (e.g. dowolna potęga sumy).

Wersja beta#

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !

⌛ Wczytuję...

Wzory skróconego mnożenia#

Nazwa	Wzór
Kwadrat sumy	Show source $\left(a+\mathrm{b}\right)^{2}=a^{2}+2~a \cdot \mathrm{b}+\mathrm{b}^{2}$
Kwadrat różnicy	Show source $\left(a-\mathrm{b}\right)^{2}=a^{2}-2~a \cdot \mathrm{b}+\mathrm{b}^{2}$
Sześcian sumy	Show source $\left(a+\mathrm{b}\right)^{3}=a^{3}+3~a^{2} \cdot \mathrm{b}+3~a \cdot \mathrm{b}^{2}+\mathrm{b}^{3}$
Sześcian różnicy	Show source $\left(a-\mathrm{b}\right)^{3}=a^{3}-3~a^{2} \cdot \mathrm{b}+3~a \cdot \mathrm{b}^{2}-\mathrm{b}^{3}$
Suma sześcianów	Show source $a^{3}+\mathrm{b}^{3}=\left(a+\mathrm{b}\right) \cdot \left(a^{2}-a \cdot \mathrm{b}+\mathrm{b}^{2}\right)$
Różnica sześcianów	Show source $a^{3}-\mathrm{b}^{3}=\left(a-\mathrm{b}\right) \cdot \left(a^{2}+a \cdot \mathrm{b}+\mathrm{b}^{2}\right)$
Tożsamość Sophie Germain	Show source $a^{4}+4~\mathrm{b}^{4}=\left(a^{2}+2~a \cdot \mathrm{b}+2~\mathrm{b}^{2}\right) \cdot \left(a^{2}-2~a \cdot \mathrm{b}+2~\mathrm{b}^{2}\right)$
Różnica czwartych potęg	Show source $a^{4}-\mathrm{b}^{4}=\left(a-\mathrm{b}\right) \cdot \left(a^{3}+a^{2} \cdot \mathrm{b}+a \cdot \mathrm{b}^{2}+\mathrm{b}^{3}\right)$
Suma piątych potęg	Show source $a^{5}+\mathrm{b}^{5}=\left(a+\mathrm{b}\right) \cdot \left(a^{4}-a^{3} \cdot \mathrm{b}+a^{2} \cdot \mathrm{b}^{2}-a \cdot \mathrm{b}^{3}+\mathrm{b}^{4}\right)$
Różnica piątych potęg	Show source $a^{5}-\mathrm{b}^{5}=\left(a-\mathrm{b}\right) \cdot \left(a^{4}+a^{3} \cdot \mathrm{b}+a^{2} \cdot \mathrm{b}^{2}+a \cdot \mathrm{b}^{3}+\mathrm{b}^{4}\right)$
Kwadrat sumy trzech składników: (a + b + c)²	Show source $\left(a+\mathrm{b}+c\right)^{2}=a^{2}+\mathrm{b}^{2}+c^{2}+2~a \cdot \mathrm{b}+2~a \cdot c+2~\mathrm{b} \cdot c$
Kwadrat trzech składników: (a + b - c)²	Show source $\left(a+\mathrm{b}-c\right)^{2}=a^{2}+\mathrm{b}^{2}+c^{2}+2~a \cdot \mathrm{b}-2~a \cdot c-2~\mathrm{b} \cdot c$
Kwadrat trzech składników: (a - b + c)²	Show source $\left(a-\mathrm{b}+c\right)^{2}=a^{2}+\mathrm{b}^{2}+c^{2}-2~a \cdot \mathrm{b}+2~a \cdot c-2~\mathrm{b} \cdot c$
Kwadrat trzech składników: (a - b - c)²	Show source $\left(a-\mathrm{b}+c\right)^{2}=a^{2}+\mathrm{b}^{2}+c^{2}-2~a \cdot \mathrm{b}-2~a \cdot c+2~\mathrm{b} \cdot c$
Dowolna potęga sumy - wzór ogólny	Show source $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{n-k} b^k = \sum_{k=0}^{n}{\frac{n!}{k!(n-k)!}} a^{n-k} b^k$
Dowolna potęga różnicy - wzór ogólny	Show source $(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n}{(-1)^k {n \choose k}} a^{n-k} b^k = \sum_{k=0}^{n}{(-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!}} a^{n-k} b^k$
Kwadrat sumy dowolnej liczby składników	Show source $\left(\sum_{i=1}^{k}{a_i}\right)^2 = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{k} a_i a_j$

Wzory skróconego mnożenia: wzory z zastosowaniem kwadratu liczb#

Nazwa	Wzór
Kwadrat sumy	Show source $\left(a+\mathrm{b}\right)^{2}=a^{2}+2~a \cdot \mathrm{b}+\mathrm{b}^{2}$
Kwadrat różnicy	Show source $\left(a-\mathrm{b}\right)^{2}=a^{2}-2~a \cdot \mathrm{b}+\mathrm{b}^{2}$

Wzory skróconego mnożenia: wzory z zastosowaniem sześcianu liczb#

Nazwa	Wzór
Sześcian sumy	Show source $\left(a+\mathrm{b}\right)^{3}=a^{3}+3~a^{2} \cdot \mathrm{b}+3~a \cdot \mathrm{b}^{2}+\mathrm{b}^{3}$
Sześcian różnicy	Show source $\left(a-\mathrm{b}\right)^{3}=a^{3}-3~a^{2} \cdot \mathrm{b}+3~a \cdot \mathrm{b}^{2}-\mathrm{b}^{3}$
Suma sześcianów	Show source $a^{3}+\mathrm{b}^{3}=\left(a+\mathrm{b}\right) \cdot \left(a^{2}-a \cdot \mathrm{b}+\mathrm{b}^{2}\right)$
Różnica sześcianów	Show source $a^{3}-\mathrm{b}^{3}=\left(a-\mathrm{b}\right) \cdot \left(a^{2}+a \cdot \mathrm{b}+\mathrm{b}^{2}\right)$

Wzory skróconego mnożenia: wzory z wyższymi potęgami#

Nazwa	Wzór
Tożsamość Sophie Germain	Show source $a^{4}+4~\mathrm{b}^{4}=\left(a^{2}+2~a \cdot \mathrm{b}+2~\mathrm{b}^{2}\right) \cdot \left(a^{2}-2~a \cdot \mathrm{b}+2~\mathrm{b}^{2}\right)$
Różnica czwartych potęg	Show source $a^{4}-\mathrm{b}^{4}=\left(a-\mathrm{b}\right) \cdot \left(a^{3}+a^{2} \cdot \mathrm{b}+a \cdot \mathrm{b}^{2}+\mathrm{b}^{3}\right)$
Suma piątych potęg	Show source $a^{5}+\mathrm{b}^{5}=\left(a+\mathrm{b}\right) \cdot \left(a^{4}-a^{3} \cdot \mathrm{b}+a^{2} \cdot \mathrm{b}^{2}-a \cdot \mathrm{b}^{3}+\mathrm{b}^{4}\right)$
Różnica piątych potęg	Show source $a^{5}-\mathrm{b}^{5}=\left(a-\mathrm{b}\right) \cdot \left(a^{4}+a^{3} \cdot \mathrm{b}+a^{2} \cdot \mathrm{b}^{2}+a \cdot \mathrm{b}^{3}+\mathrm{b}^{4}\right)$

Wzory skróconego mnożenia: trzy składniki#

Nazwa	Wzór
Kwadrat sumy trzech składników: (a + b + c)²	Show source $\left(a+\mathrm{b}+c\right)^{2}=a^{2}+\mathrm{b}^{2}+c^{2}+2~a \cdot \mathrm{b}+2~a \cdot c+2~\mathrm{b} \cdot c$
Kwadrat trzech składników: (a + b - c)²	Show source $\left(a+\mathrm{b}-c\right)^{2}=a^{2}+\mathrm{b}^{2}+c^{2}+2~a \cdot \mathrm{b}-2~a \cdot c-2~\mathrm{b} \cdot c$
Kwadrat trzech składników: (a - b + c)²	Show source $\left(a-\mathrm{b}+c\right)^{2}=a^{2}+\mathrm{b}^{2}+c^{2}-2~a \cdot \mathrm{b}+2~a \cdot c-2~\mathrm{b} \cdot c$
Kwadrat trzech składników: (a - b - c)²	Show source $\left(a-\mathrm{b}+c\right)^{2}=a^{2}+\mathrm{b}^{2}+c^{2}-2~a \cdot \mathrm{b}-2~a \cdot c+2~\mathrm{b} \cdot c$

Wzory skróconego mnożenia: wzory ogólne#

Nazwa	Wzór
Dowolna potęga sumy - wzór ogólny	Show source $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{n-k} b^k = \sum_{k=0}^{n}{\frac{n!}{k!(n-k)!}} a^{n-k} b^k$
Dowolna potęga różnicy - wzór ogólny	Show source $(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n}{(-1)^k {n \choose k}} a^{n-k} b^k = \sum_{k=0}^{n}{(-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!}} a^{n-k} b^k$
Kwadrat sumy dowolnej liczby składników	Show source $\left(\sum_{i=1}^{k}{a_i}\right)^2 = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{k} a_i a_j$

Trochę informacji#

Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybciej wykonać często wykonywane działania np. kwadrat sumy dwóch liczb:

ⓘ Przykład: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Nie ma obowiązku aby stosować wzory skróconego mnożenia, ponieważ te same obliczenia można wykonać ręcznie (krok po kroku wymnażając wszystkie składniki jeden po drugim). Jednak skorzystanie z gotowych wzorów (wzorów skróconego mnożenia) ma na celu uniknięcie żmudnych obliczeń i zmniejszenie szansy popełnienia pomyłki.
Do powyższego wzoru można dojść wymnażając składniki ręcznie jeden po drugim (potocznie: każdy przez każdy):

$\begin{array}{l} (a + b)^2 = \\ (a + b)(a + b) = \\ a(a + b) + b(a + b) = \\ a \cdot a + ab + ba + b \cdot b = \\ a^2 + 2ab + b^2 \end{array}$

Tagi i linki do tej strony#

Tagi:

wzory_skroconego_mnozenia · kwadrat_sumy · kwadrat_róznicy · szescian_sumy · szescian_roznicy · suma_do_ntej · roznica_do_ntej · ogolna_postac_wzorow_skroconego_mnozenia · wzory_skroconego_mnozenia_dla_dowolnej_potegi

Tagi do wersji anglojęzycznej:

short_multiplication_formulas · square_of_a_sum · square_of_a_difference · cube_of_a_sum · cube_of_a_difference · nth_power_of_a_sum · nth_power_of_a_difference · general_form_of_short_multiplicaion_formulas · short_multiplication_formulas_of_any_power

Jakie tagi ma ten kalkulator#

TABELA · MATEMATYKA · A -> Z (wszystkie)

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

https://calculla.pl/wzory_skroconego_mnozenia

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#