Tablice matematyczne: wzory skróconego mnożenia
Tabele zawierają różne wzory skróconego mnożenia. Przedstawione są zarówno typowe przypadki np. (a + b)² (kwadrat sumy) jak i przypadki ogólne (e.g. dowolna potęga sumy).

Wersja beta

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !
⌛ Wczytuję...

Wzory skróconego mnożenia

NazwaWzór
Kwadrat sumyShow source(a+b)2=a2+2 a b+b2{\left( a+\mathrm{b}\right)}^{2}={ a}^{2}+2~ a~\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^{2}
Kwadrat różnicyShow source(ab)2=a22 a b+b2{\left( a-\mathrm{b}\right)}^{2}={ a}^{2}-2~ a~\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^{2}
Sześcian sumyShow source(a+b)3=a3+3 a2 b+3 a b2+b3{\left( a+\mathrm{b}\right)}^{3}={ a}^{3}+3~{ a}^{2}~\mathrm{b}+3~ a~{\mathrm{b}}^{2}+{\mathrm{b}}^{3}
Sześcian różnicyShow source(ab)3=a33 a2 b+3 a b2b3{\left( a-\mathrm{b}\right)}^{3}={ a}^{3}-3~{ a}^{2}~\mathrm{b}+3~ a~{\mathrm{b}}^{2}-{\mathrm{b}}^{3}
Suma sześcianówShow sourcea3+b3=(a+b) (a2a b+b2){ a}^{3}+{\mathrm{b}}^{3}=\left( a+\mathrm{b}\right)~\left({ a}^{2}- a~\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^{2}\right)
Różnica sześcianówShow sourcea3b3=(ab) (a2+a b+b2){ a}^{3}-{\mathrm{b}}^{3}=\left( a-\mathrm{b}\right)~\left({ a}^{2}+ a~\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^{2}\right)
Tożsamość Sophie GermainShow sourcea4+4 b4=(a2+2 a b+2 b2) (a22 a b+2 b2){ a}^{4}+4~{\mathrm{b}}^{4}=\left({ a}^{2}+2~ a~\mathrm{b}+2~{\mathrm{b}}^{2}\right)~\left({ a}^{2}-2~ a~\mathrm{b}+2~{\mathrm{b}}^{2}\right)
Różnica czwartych potęgShow sourcea4b4=(ab) (a3+a2 b+a b2+b3){ a}^{4}-{\mathrm{b}}^{4}=\left( a-\mathrm{b}\right)~\left({ a}^{3}+{ a}^{2}~\mathrm{b}+ a~{\mathrm{b}}^{2}+{\mathrm{b}}^{3}\right)
Suma piątych potęgShow sourcea5+b5=(a+b) (a4a3 b+a2 b2a b3+b4){ a}^{5}+{\mathrm{b}}^{5}=\left( a+\mathrm{b}\right)~\left({ a}^{4}-{ a}^{3}~\mathrm{b}+{ a}^{2}~{\mathrm{b}}^{2}- a~{\mathrm{b}}^{3}+{\mathrm{b}}^{4}\right)
Różnica piątych potęgShow sourcea5b5=(ab) (a4+a3 b+a2 b2+a b3+b4){ a}^{5}-{\mathrm{b}}^{5}=\left( a-\mathrm{b}\right)~\left({ a}^{4}+{ a}^{3}~\mathrm{b}+{ a}^{2}~{\mathrm{b}}^{2}+ a~{\mathrm{b}}^{3}+{\mathrm{b}}^{4}\right)
Kwadrat sumy trzech składników: (a + b + c)²Show source(a+b+c)2=a2+b2+c2+2 a b+2 a c+2 b c{\left( a+\mathrm{b}+ c\right)}^{2}={ a}^{2}+{\mathrm{b}}^{2}+{ c}^{2}+2~ a~\mathrm{b}+2~ a~ c+2~\mathrm{b}~ c
Kwadrat trzech składników: (a + b - c)²Show source(a+bc)2=a2+b2+c2+2 a b2 a c2 b c{\left( a+\mathrm{b}- c\right)}^{2}={ a}^{2}+{\mathrm{b}}^{2}+{ c}^{2}+2~ a~\mathrm{b}-2~ a~ c-2~\mathrm{b}~ c
Kwadrat trzech składników: (a - b + c)²Show source(ab+c)2=a2+b2+c22 a b+2 a c2 b c{\left( a-\mathrm{b}+ c\right)}^{2}={ a}^{2}+{\mathrm{b}}^{2}+{ c}^{2}-2~ a~\mathrm{b}+2~ a~ c-2~\mathrm{b}~ c
Kwadrat trzech składników: (a - b - c)²Show source(ab+c)2=a2+b2+c22 a b2 a c+2 b c{\left( a-\mathrm{b}+ c\right)}^{2}={ a}^{2}+{\mathrm{b}}^{2}+{ c}^{2}-2~ a~\mathrm{b}-2~ a~ c+2~\mathrm{b}~ c
Dowolna potęga sumy - wzór ogólnyShow source(a+b)n=k=0n(nk)ankbk=k=0nn!k!(nk)!ankbk(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{n-k} b^k = \sum_{k=0}^{n}{\frac{n!}{k!(n-k)!}} a^{n-k} b^k
Dowolna potęga różnicy - wzór ogólnyShow source(ab)n=k=0n(1)k(nk)ankbk=k=0n(1)kn!k!(nk)!ankbk(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n}{(-1)^k {n \choose k}} a^{n-k} b^k = \sum_{k=0}^{n}{(-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!}} a^{n-k} b^k
Kwadrat sumy dowolnej liczby składnikówShow source(i=1kai)2=i=1kj=1kaiaj\left(\sum_{i=1}^{k}{a_i}\right)^2 = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{k} a_i a_j

Wzory skróconego mnożenia: wzory z zastosowaniem kwadratu liczb

NazwaWzór
Kwadrat sumyShow source(a+b)2=a2+2 a b+b2{\left( a+\mathrm{b}\right)}^{2}={ a}^{2}+2~ a~\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^{2}
Kwadrat różnicyShow source(ab)2=a22 a b+b2{\left( a-\mathrm{b}\right)}^{2}={ a}^{2}-2~ a~\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^{2}

Wzory skróconego mnożenia: wzory z zastosowaniem sześcianu liczb

NazwaWzór
Sześcian sumyShow source(a+b)3=a3+3 a2 b+3 a b2+b3{\left( a+\mathrm{b}\right)}^{3}={ a}^{3}+3~{ a}^{2}~\mathrm{b}+3~ a~{\mathrm{b}}^{2}+{\mathrm{b}}^{3}
Sześcian różnicyShow source(ab)3=a33 a2 b+3 a b2b3{\left( a-\mathrm{b}\right)}^{3}={ a}^{3}-3~{ a}^{2}~\mathrm{b}+3~ a~{\mathrm{b}}^{2}-{\mathrm{b}}^{3}
Suma sześcianówShow sourcea3+b3=(a+b) (a2a b+b2){ a}^{3}+{\mathrm{b}}^{3}=\left( a+\mathrm{b}\right)~\left({ a}^{2}- a~\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^{2}\right)
Różnica sześcianówShow sourcea3b3=(ab) (a2+a b+b2){ a}^{3}-{\mathrm{b}}^{3}=\left( a-\mathrm{b}\right)~\left({ a}^{2}+ a~\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^{2}\right)

Wzory skróconego mnożenia: wzory z wyższymi potęgami

NazwaWzór
Tożsamość Sophie GermainShow sourcea4+4 b4=(a2+2 a b+2 b2) (a22 a b+2 b2){ a}^{4}+4~{\mathrm{b}}^{4}=\left({ a}^{2}+2~ a~\mathrm{b}+2~{\mathrm{b}}^{2}\right)~\left({ a}^{2}-2~ a~\mathrm{b}+2~{\mathrm{b}}^{2}\right)
Różnica czwartych potęgShow sourcea4b4=(ab) (a3+a2 b+a b2+b3){ a}^{4}-{\mathrm{b}}^{4}=\left( a-\mathrm{b}\right)~\left({ a}^{3}+{ a}^{2}~\mathrm{b}+ a~{\mathrm{b}}^{2}+{\mathrm{b}}^{3}\right)
Suma piątych potęgShow sourcea5+b5=(a+b) (a4a3 b+a2 b2a b3+b4){ a}^{5}+{\mathrm{b}}^{5}=\left( a+\mathrm{b}\right)~\left({ a}^{4}-{ a}^{3}~\mathrm{b}+{ a}^{2}~{\mathrm{b}}^{2}- a~{\mathrm{b}}^{3}+{\mathrm{b}}^{4}\right)
Różnica piątych potęgShow sourcea5b5=(ab) (a4+a3 b+a2 b2+a b3+b4){ a}^{5}-{\mathrm{b}}^{5}=\left( a-\mathrm{b}\right)~\left({ a}^{4}+{ a}^{3}~\mathrm{b}+{ a}^{2}~{\mathrm{b}}^{2}+ a~{\mathrm{b}}^{3}+{\mathrm{b}}^{4}\right)

Wzory skróconego mnożenia: trzy składniki

NazwaWzór
Kwadrat sumy trzech składników: (a + b + c)²Show source(a+b+c)2=a2+b2+c2+2 a b+2 a c+2 b c{\left( a+\mathrm{b}+ c\right)}^{2}={ a}^{2}+{\mathrm{b}}^{2}+{ c}^{2}+2~ a~\mathrm{b}+2~ a~ c+2~\mathrm{b}~ c
Kwadrat trzech składników: (a + b - c)²Show source(a+bc)2=a2+b2+c2+2 a b2 a c2 b c{\left( a+\mathrm{b}- c\right)}^{2}={ a}^{2}+{\mathrm{b}}^{2}+{ c}^{2}+2~ a~\mathrm{b}-2~ a~ c-2~\mathrm{b}~ c
Kwadrat trzech składników: (a - b + c)²Show source(ab+c)2=a2+b2+c22 a b+2 a c2 b c{\left( a-\mathrm{b}+ c\right)}^{2}={ a}^{2}+{\mathrm{b}}^{2}+{ c}^{2}-2~ a~\mathrm{b}+2~ a~ c-2~\mathrm{b}~ c
Kwadrat trzech składników: (a - b - c)²Show source(ab+c)2=a2+b2+c22 a b2 a c+2 b c{\left( a-\mathrm{b}+ c\right)}^{2}={ a}^{2}+{\mathrm{b}}^{2}+{ c}^{2}-2~ a~\mathrm{b}-2~ a~ c+2~\mathrm{b}~ c

Wzory skróconego mnożenia: wzory ogólne

NazwaWzór
Dowolna potęga sumy - wzór ogólnyShow source(a+b)n=k=0n(nk)ankbk=k=0nn!k!(nk)!ankbk(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{n-k} b^k = \sum_{k=0}^{n}{\frac{n!}{k!(n-k)!}} a^{n-k} b^k
Dowolna potęga różnicy - wzór ogólnyShow source(ab)n=k=0n(1)k(nk)ankbk=k=0n(1)kn!k!(nk)!ankbk(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n}{(-1)^k {n \choose k}} a^{n-k} b^k = \sum_{k=0}^{n}{(-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!}} a^{n-k} b^k
Kwadrat sumy dowolnej liczby składnikówShow source(i=1kai)2=i=1kj=1kaiaj\left(\sum_{i=1}^{k}{a_i}\right)^2 = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{k} a_i a_j

Trochę informacji

  • Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybciej wykonać często wykonywane działania np. kwadrat sumy dwóch liczb:
    ⓘ Przykład: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • Nie ma obowiązku aby stosować wzory skróconego mnożenia, ponieważ te same obliczenia można wykonać ręcznie (krok po kroku wymnażając wszystkie składniki jeden po drugim). Jednak skorzystanie z gotowych wzorów (wzorów skróconego mnożenia) ma na celu uniknięcie żmudnych obliczeń i zmniejszenie szansy popełnienia pomyłki.
  • Do powyższego wzoru można dojść wymnażając składniki ręcznie jeden po drugim (potocznie: każdy przez każdy):
    (a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 \begin{array}{l} (a + b)^2 = \\ (a + b)(a + b) = \\ a(a + b) + b(a + b) = \\ a \cdot a + ab + ba + b \cdot b = \\ a^2 + 2ab + b^2 \end{array}

Tagi i linki do tej strony

Jakie tagi ma ten kalkulator

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.