English language flag EN
Polish language flag PL
◀
Tablice matematyczne: działania na potęgach
▶
Tabele zawierają typowe wzory i własności związane z potęgowaniem (funkcją potęgową).

Wersja beta#

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !
⌛ Wczytuję...

Potęgowanie: wzory ogólne#

NazwaWzór
Potęga o wykładniku naturalnymShow sourcean=a⋅a⋅a⋅…⋅a⏟na^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}
Potęga o wykładniku wymiernymShow sourceapq=apq=(aq)pa^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p
Potęga o wykładniku ujemnymShow sourcea−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}
Zamiana potęgi na pierwiastekShow sourcea1n=ana^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}
Mnożenie potęg o tej samej podstawieShow sourcean⋅am=an+ma^n \cdot a^m = a^{n + m}
Mnożenie potęg o tym samym wykładnikuShow sourcean⋅bn=(a⋅b)na^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n
Dzielenie potęg o tej samej podstawieShow sourceap:aq=apaq=ap−qa^p : a^q = \frac{a^p}{a^q} = a^{p - q}
Dzielenie potęg o tym samym wykładnikuShow sourcean:bn=anbn=(ab)na^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n
Potęga potęgiShow source(an)m=an⋅m\left(a^n\right)^m = a^{n \cdot m}

Potęgowanie: popularne wykładniki#

NazwaWzór
Odwrotność sześcianuShow sourcea−3=1a3a^{-3} = \frac{1}{a^3}
Odwrotność kwadratuShow sourcea−2=1a2a^{-2} = \frac{1}{a^2}
Odwrotność liczby jako potęgaShow sourcea−1=1aa^{-1} = \frac{1}{a}
Odwrotność ułamka jako potęgaShow source(ab)−1=ba\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}
Dowolna liczba do zerowej potęgiShow sourcea0=1a^0 = 1
Pierwiastek kwadratowy w postaci potęgiShow sourcea12=a0.5=aa^{\frac{1}{2}} = a^{0.5} = \sqrt{a}
Pierwiastek sześcienny w postaci potęgiShow sourcea13=a3a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}
Dowolna liczba do pierwszej potęgiShow sourcea1=aa^1 = a
Kwadrat liczby (liczba podniesiona do drugiej potęgi)Show sourcea2=a⋅aa^2 = a \cdot a
Sześcian liczby (liczba podniesiona do trzeciej potęgi)Show sourcea3=a⋅a⋅aa^3 = a \cdot a \cdot a

Potęgowanie: działania z liczbą jeden#

NazwaWzór
Odwrotność liczby jako potęgaShow sourcea−1=1aa^{-1} = \frac{1}{a}
Odwrotność ułamka jako potęgaShow source(ab)−1=ba\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}
Dowolna liczba do pierwszej potęgiShow sourcea1=aa^1 = a
Jeden do dowolnej potęgiShow source1n=11^n = 1

Potęgowanie: potęga a pierwiastek#

NazwaWzór
Zamiana potęgi na pierwiastekShow sourcea1n=ana^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}
Pierwiastek kwadratowy w postaci potęgiShow sourcea12=a0.5=aa^{\frac{1}{2}} = a^{0.5} = \sqrt{a}
Pierwiastek sześcienny w postaci potęgiShow sourcea13=a3a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}

Potęgowanie: działania z liczbą zero#

NazwaWzór
Dowolna liczba do zerowej potęgiShow sourcea0=1a^0 = 1
Zero do dowolnej potęgiShow source0n=00^n = 0

Trochę informacji#

  • Potęgowanie polega na wielokrotnym mnożeniu tej samej liczby przez samą siebie:
    an=a⋅a⋅a⋅…⋅a⏟na^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}
    gdzie:
    • a - podstawa potęgi, jest to liczba, którą mnożymy przez siebie,
    • n - wykładnik potęgi, oznacza ilość wykonanych mnożeń.
    ⓘ Przykład: 23=2⋅2⋅2=82^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8
  • Zapis 232^3 czytamy jako "dwa do potęgi trzeciej" lub krócej: "dwa do trzeciej".
  • Formalnie potęgowanie to działanie dwuargumentowe, gdzie pierwszym argumentem jest podstawa (w powyższym przykładzie liczba 2), a drugim wykładnik (w powyższym przykładzie liczba 3).
  • Potęgowanie nie jest przemienne tzn. nie można zamienić podstawy z wykładnikiem. Na przykład 232^3 to inna liczba niż 323^2.
    ⚠ UWAGA! an≠naa^n \ne n^a
  • Podniesienie dowolnej liczby do pierwszej potęgi nie zmienia tej liczby. Na przykład 313^1 wynosi 3:
    ⓘ Zapamiętaj: a1=aa^1 = a
  • Z kolei potęgowanie przez zero zawsze daje wynik jeden np. 303^0 to dalej 1:
    ⓘ Zapamiętaj: a0=1a^0 = 1
  • Potęgowanie przez liczbę ujemną jest równoznaczne z wykonaniem identycznego działania, ale na liczbie odwrotnej. Dlatego często odwrotność liczby zapisuje się jako podniesienie do potęgi -1 np. x−1x^{-1} oznacza tyle co "odwrotność liczby x" lub bardziej potocznie "odwrotność x-a". Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o liczbach odwrotnych, to możesz zobaczyć nasz inny kalkulator: Ułamki: odwrotność. W ogólności prawdziwa jest relacja:
    ⓘ Zapamiętaj: (ab)−n=(ba)n\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n
  • Potęgowanie z wykładnikiem ułamkowym jest równoznaczne z pierwiastkowaniem. Wykładnik w postaci ułamka zwykłego może być użyty do zapisu potęgowania i pierwiastkowania w jednym działaniu. W ogólności prawdziwy jest wzór:
    ⓘ Zapamiętaj: apq=(aq)p=apqa^{\frac{p}{q}} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p = \sqrt[q]{a^p}

  • Z powyższego wzoru wynika, że potęgowanie i pierwiastkowanie to w rzeczywistości ten sam rodzaj działania. W praktyce oznacza to, że nie ma znaczenia w jakiej kolejności wykonamy te działania (możemy najpierw wyciągnąć pierwiastek, a potem podnieść do potęgi lub odwrotnie). W obu przypadkach otrzymamy ten sam wynik.
  • Podniesienie liczby jeden do dowolnej potęgi daje jeden. Podobnie zero do dowolnej potęgi daje zero. Wynika to z własności mnożenia przez liczbę jeden i zero:
    0n=0⋅0⋅0⋅…⋅0⏟n=00^n = \underbrace{0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot \ldots \cdot 0}_{n} = 0
    1n=1⋅1⋅1⋅…⋅1⏟n=11^n = \underbrace{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{n} = 1
  • Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o elementarnych działaniach na liczbach takich jak mnożenie możesz zobaczyć nasz inny kalkulator: Działania na liczbach.
  • W przypadku liczb ujemnych, potęgi o parzystym wykładniku dają wynik dodatni, natomiast potęgi o wykładniku nieparzystym dają wynik ujemny. W ogólności możemy napisać:
    (−a)n={angdy n jest parzyste−angdy n jest nieparzyste \left(-a\right)^n = \left\{ \begin{array}{ll} a^n & \textrm{gdy n jest parzyste}\\ -a^n & \textrm{gdy n jest nieparzyste}\\ \end{array} \right.

Tagi i linki do tej strony#

Tagi:
Tagi do wersji anglojęzycznej:

Jakie tagi ma ten kalkulator#

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#

Calculla 2.0 by Kemu StudioAll rights reserved
JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.