Tablice matematyczne: wzory na zamiane układu współrzędnych
Tabela zawiera wzory na przeliczanie współrzędnych z jednego układu do innego na przykład z współrzędnych kartezjańskich na walcowe lub odwrotnie. Uwzględniono zarówno dwu- jak i trójwymiarowy układ współrzędnych.

Wersja beta#

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !
⌛ Wczytuję...

Układ współrzędnych polarnych (biegunowych)#

NazwaWzórLegenda
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na polarne (biegunowe): rShow sourcer=x2+y2 r=\sqrt{{ x}^{2}+{ y}^{2}}
  • rr - promień wodzący w układzie polarnym (biegunowym),
  • x, y - współrzędne w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na polarne (biegunowe): φShow sourceϕ=arctan(xy) \phi=\mathrm{arctan}\left(\frac{ x}{ y}\right)
  • ϕ\phi - amplituda w układzie polarnym (biegunowym),
  • x, y - współrzędne w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych polarnych (biegunowych) na kartezjańskie: xShow sourcex=r cos(ϕ) x= r~\cos\left( \phi\right)
  • x - współrzędna x w układzie kartezjańskim,
  • rr, ϕ\phi - współrzędne polarne (biegunowe): promień wodzący i amplituda.
Zamiana współrzędnych polarnych (biegunowych) na kartezjańskie: yShow sourcey=r sin(ϕ) y= r~\sin\left( \phi\right)
  • y - współrzędna y w układzie kartezjańskim,
  • rr, ϕ\phi - współrzędne polarne (biegunowe): promień wodzący i amplituda.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na polarne (biegunowe)Show source{r=x2+y2ϕ=arctan(xy)\begin{dcases} r=\sqrt{{ x}^{2}+{ y}^{2}}\\ \phi=\mathrm{arctan}\left(\frac{ x}{ y}\right)\end{dcases}
  • rr, ϕ\phi - współrzędne polarne (biegunowe): promień wodzący i amplituda,
  • x, y - współrzędne w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych polarnych (biegunowych) na kartezjańskieShow source{x=r cos(ϕ)y=r sin(ϕ)\begin{dcases} x= r~\cos\left( \phi\right)\\ y= r~\sin\left( \phi\right)\end{dcases}
  • x, y - współrzędne w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim,
  • rr, ϕ\phi - współrzędne polarne (biegunowe): promień wodzący i amplituda.

Układ współrzędnych cylindrycznych (walcowych)#

NazwaWzórLegenda
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na cylindryczne (walcowe): ρShow sourceρ=x2+y2 \rho=\sqrt{{ x}^{2}+{ y}^{2}}
  • ρ\rho - promień wodzący w układzie cylindrycznym (walcowym),
  • x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na cylindryczne (walcowe): φShow sourceϕ=arctan(xy) \phi=\mathrm{arctan}\left(\frac{ x}{ y}\right)
  • ϕ\phi - amplituda w układzie cylindrycznym (walcowym),
  • x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na cylindryczne (walcowe): zShow sourcez=z z= z
  • zz - wysokość w układzie cylindrycznym (walcowym),
  • x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na kartezjańskie: xShow sourcex=ρ cos(ϕ) x= \rho~\cos\left( \phi\right)
  • x - współrzędna x w układzie kartezjańskim,
  • ρ\rho, ϕ\phi, zz - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na kartezjańskie: yShow sourcey=ρ sin(ϕ) y= \rho~\sin\left( \phi\right)
  • y - współrzędna y w układzie kartezjańskim,
  • ρ\rho, ϕ\phi, zz - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na kartezjańskie: zShow sourcez=z z= z
  • z - współrzędna z w układzie kartezjańskim,
  • ρ\rho, ϕ\phi, zz - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na sferyczne: rShow sourcer=ρ2+z2 r=\sqrt{{ \rho}^{2}+{ z}^{2}}
  • rr - promień wodzący w układzie sferycznym,
  • ρ\rho, ϕ\phi, zz - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na sferyczne: θShow sourceθ=arctan(ρz) \theta=\mathrm{arctan}\left(\frac{ \rho}{ z}\right)
  • θ\theta - odległość zenitalna w układzie sferycznym,
  • ρ\rho, ϕ\phi, zz - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na sferyczne: φShow sourceϕ=ϕ \phi= \phi
  • ϕ\phi - długość azymutalna w układzie sferycznym,
  • ρ\rho, ϕ\phi, zz - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych sferycznych na cylindryczne (walcowe): ρShow sourceρ=r sin(θ) \rho= r~\sin\left( \theta\right)
  • ρ\rho - promień wodzący w układzie cylindrycznym (walcowym),
  • rr, θ\theta, ϕ\phi - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych sferycznych na cylindryczne (walcowe): φShow sourceϕ=ϕ \phi= \phi
  • ϕ\phi - amplituda w układzie cylindrycznym (walcowym),
  • rr, θ\theta, ϕ\phi - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych sferycznych na cylindryczne (walcowe): zShow sourcez=r cos(θ) z= r~\cos\left( \theta\right)
  • zz - wysokość w układzie cylindrycznym (walcowym),
  • rr, θ\theta, ϕ\phi - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na cylindryczne (walcowe)Show source{ρ=x2+y2ϕ=arctan(xy)z=z\begin{dcases} \rho=\sqrt{{ x}^{2}+{ y}^{2}}\\ \phi=\mathrm{arctan}\left(\frac{ x}{ y}\right)\\ z= z\end{dcases}
  • ρ\rho, ϕ\phi, zz - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość,
  • x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na kartezjańskieShow source{x=ρ cos(ϕ)y=ρ sin(ϕ)z=z\begin{dcases} x= \rho~\cos\left( \phi\right)\\ y= \rho~\sin\left( \phi\right)\\ z= z\end{dcases}
  • x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim,
  • ρ\rho, ϕ\phi, zz - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.

Układ współrzędnych sferycznych#

NazwaWzórLegenda
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na sferyczne: rShow sourcer=x2+y2+z2 r=\sqrt{{ x}^{2}+{ y}^{2}+{ z}^{2}}
  • rr - promień wodzący w układzie sferycznym,
  • x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na sferyczne: θShow sourceθ=arccos(zx2+y2+z2) \theta=\mathrm{arccos}\left(\frac{ z}{{ x}^{2}+{ y}^{2}+{ z}^{2}}\right)
  • θ\theta - odległość zenitalna w układzie sferycznym,
  • x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na sferyczne: φShow sourceϕ=arctan(yx) \phi=\mathrm{arctan}\left(\frac{ y}{ x}\right)
  • ϕ\phi - długość azymutalna w układzie sferycznym,
  • x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych sferyczych na kartezjańskie: xShow sourcex=r sin(θ) cos(ϕ) x= r~\sin\left( \theta\right)~\cos\left( \phi\right)
  • x - współrzędna x w układzie kartezjańskim,
  • rr, θ\theta, ϕ\phi - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych sferyczych na kartezjańskie: yShow sourcey=r sin(θ) sin(ϕ) y= r~\sin\left( \theta\right)~\sin\left( \phi\right)
  • y - współrzędna y w układzie kartezjańskim,
  • rr, θ\theta, ϕ\phi - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych sferyczych na kartezjańskie: zShow sourcez=r cos(θ) z= r~\cos\left( \theta\right)
  • z - współrzędna z w układzie kartezjańskim,
  • rr, θ\theta, ϕ\phi - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na sferyczne: rShow sourcer=ρ2+z2 r=\sqrt{{ \rho}^{2}+{ z}^{2}}
  • rr - promień wodzący w układzie sferycznym,
  • ρ\rho, ϕ\phi, zz - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na sferyczne: θShow sourceθ=arctan(ρz) \theta=\mathrm{arctan}\left(\frac{ \rho}{ z}\right)
  • θ\theta - odległość zenitalna w układzie sferycznym,
  • ρ\rho, ϕ\phi, zz - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na sferyczne: φShow sourceϕ=ϕ \phi= \phi
  • ϕ\phi - długość azymutalna w układzie sferycznym,
  • ρ\rho, ϕ\phi, zz - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych sferycznych na cylindryczne (walcowe): ρShow sourceρ=r sin(θ) \rho= r~\sin\left( \theta\right)
  • ρ\rho - promień wodzący w układzie cylindrycznym (walcowym),
  • rr, θ\theta, ϕ\phi - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych sferycznych na cylindryczne (walcowe): φShow sourceϕ=ϕ \phi= \phi
  • ϕ\phi - amplituda w układzie cylindrycznym (walcowym),
  • rr, θ\theta, ϕ\phi - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych sferycznych na cylindryczne (walcowe): zShow sourcez=r cos(θ) z= r~\cos\left( \theta\right)
  • zz - wysokość w układzie cylindrycznym (walcowym),
  • rr, θ\theta, ϕ\phi - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na sferyczneShow source{r=x2+y2+z2θ=arccos(zx2+y2+z2)ϕ=arctan(yx)\begin{dcases} r=\sqrt{{ x}^{2}+{ y}^{2}+{ z}^{2}}\\ \theta=\mathrm{arccos}\left(\frac{ z}{{ x}^{2}+{ y}^{2}+{ z}^{2}}\right)\\ \phi=\mathrm{arctan}\left(\frac{ y}{ x}\right)\end{dcases}
  • rr, θ\theta, ϕ\phi - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna,
  • x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych sferyczych na kartezjańskieShow source{x=r sin(θ) cos(ϕ)y=r sin(θ) sin(ϕ)z=r cos(θ)\begin{dcases} x= r~\sin\left( \theta\right)~\cos\left( \phi\right)\\ y= r~\sin\left( \theta\right)~\sin\left( \phi\right)\\ z= r~\cos\left( \theta\right)\end{dcases}
  • x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim,
  • rr, θ\theta, ϕ\phi - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.

Trochę informacji#

  • Aby opisać położenie punktu w przestrzeni potrzebne jest podanie jego współrzędnych.
  • Liczba współrzędnych potrzebnych do jednoznacznego opisu musi być równa liczbie wymiarów. Przykładowo:
    • aby opisać położenie punktu na prostej (przestrzeń jednowymiarowa), wystarczy podać jedną liczbę,
    • aby opisać położenie punktu na płaszczyźnie potrzebne jest podanie dwóch liczb np. współrzędnych kartezjańskich (x,y),
    • aby opisać położenie punktu w przestrzeni trójwymiarowej potrzebne jest podanie trzech liczb np. współrzędnych kartezjańskich (x,y,z),
    • itd.
  • O ile ilość potrzebna ilość liczb wynika jednoznacznie z liczby wymiarów, o tyle sama definicja współrzędnych może być różna.
  • Przykłady dwuwymiarowych układów współrzędnych są:
    • układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) - para liczb (x,y)(x, y), które określają położenie punktu na dwóch prostopadłych osiach.
    • układ współrzędnych polarnych (biegunowych) - para liczb (r,ϕ)(r, \phi), z których pierwsza oznacza odległość od początku układu współrzędnych, a druga kąt. Związek między układem polarnym, a kartezjańskim jest następujący:
      {r=x2+y2ϕ=arctan(xy)\begin{dcases} r=\sqrt{{ x}^{2}+{ y}^{2}}\\ \phi=\mathrm{arctan}\left(\frac{ x}{ y}\right)\end{dcases}
      {x=r cos(ϕ)y=r sin(ϕ)\begin{dcases} x= r~\cos\left( \phi\right)\\ y= r~\sin\left( \phi\right)\end{dcases}
      gdzie:
      • rr, ϕ\phi - współrzędne polarne (biegunowe): promień wodzący i amplituda,
      • x, y - współrzędne w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim.
  • Przykłady trójwymiarowych układów współrzędnych to:
    • trójwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) - uogólnienie układu dwuwymiarowego przez dodanie trzeciej osi, prostopadłej do pozostałych, położenie punktu opisane jest przez trzy liczby oznaczane zazwyczaj przez (x,y,z)(x, y, z),
    • układ współrzędnych cylindrycznych (walcowych) - uogólnienie układu biegunowego przez dodanie trzeciej współrzędnej z, która pełni identyczną rolę jak w układzie kartezjańskim, w ten sposób otrzymujemy trójkę liczb (ρ,ϕ,z)(\rho, \phi, z):
      {ρ=x2+y2ϕ=arctan(xy)z=z\begin{dcases} \rho=\sqrt{{ x}^{2}+{ y}^{2}}\\ \phi=\mathrm{arctan}\left(\frac{ x}{ y}\right)\\ z= z\end{dcases}
      {ρ=x2+y2ϕ=arctan(xy)z=z\begin{dcases} \rho=\sqrt{{ x}^{2}+{ y}^{2}}\\ \phi=\mathrm{arctan}\left(\frac{ x}{ y}\right)\\ z= z\end{dcases}
      gdzie:
      • ρ\rho, ϕ\phi, zz - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość,
      • x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
    • układ współrzędnych sferycznych - inne uogólnienie układu biegunowego, jednak zamiast współrzędnej z dodany jest drugi kąt, w ten sposób otrzymujemy trzy współrzędne (r,θ,ϕ)(r, \theta, \phi):
      {r=x2+y2+z2θ=arccos(zx2+y2+z2)ϕ=arctan(yx)\begin{dcases} r=\sqrt{{ x}^{2}+{ y}^{2}+{ z}^{2}}\\ \theta=\mathrm{arccos}\left(\frac{ z}{{ x}^{2}+{ y}^{2}+{ z}^{2}}\right)\\ \phi=\mathrm{arctan}\left(\frac{ y}{ x}\right)\end{dcases}
      {x=r sin(θ) cos(ϕ)y=r sin(θ) sin(ϕ)z=r cos(θ)\begin{dcases} x= r~\sin\left( \theta\right)~\cos\left( \phi\right)\\ y= r~\sin\left( \theta\right)~\sin\left( \phi\right)\\ z= r~\cos\left( \theta\right)\end{dcases}
      gdzie:
      • rr, θ\theta, ϕ\phi - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna,
      • x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.

Tagi i linki do tej strony#

Jakie tagi ma ten kalkulator#

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.