Tabele zawierają typowe wzory powiązane z funkcją homograficzną takie jak wyznacznik funkcji (ad-bc) czy równania asymptot (pionowej i poziomej).

Wersja beta#

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !

⌛ Wczytuję...

Różne postacie funkcji#

Nazwa	Wzór	Legenda
Funkcja wykładnicza w postaci ogólnej	Show source $y=a^{x}$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $a$ - podstawa funkcji wykładniczej.
Funkcja wykładnicza o podstawie e (często zapisywana jako exp(x))	Show source $exp(x)=e^{x}$	$exp(x)$ - wartość funkcji eksponens, $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $e$ - liczba e (stała matematyczna, podstawa logarytmu naturalnego).
Funkcja homograficzna w postaci ogólnej	Show source $y=\frac{a \cdot x+b}{c \cdot x+d}$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), a, b, c, d - współczynniki funkcji homograficznej (parametery definujące konkretną funkcję homograficzną, c ≠ 0).
Funkcja b/x	Show source $y=\frac{b}{x}$	$y$ - wartość funkcji b/x (wartość funkcji f(x)=b/x dla podanego x-a, parametry a,d są równe zero, a parametr c wynosi 1), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), b - współczynnik b.
Funkcja liniowa w postaci ogólnej	Show source $y=a \cdot x+b$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $a$ , $b$ - współczynniki funkcji liniowej (współczynnik kierunkowy oraz wyraz wolny).
Funkcja liniowa w postaci kanonicznej	Show source $y=a\left(x-x_0\right)+y_0$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $a$ - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem), $x_0$ , $y_0$ - współrzędne punktu.
Funkcja liniowa określona przez parę punktów	Show source $\frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $x_0$ , $y_0$ - współrzędne pierwszego punktu, $x_1$ , $y_1$ - współrzędne drugiego punktu.
Miejsce zerowe funkcji liniowej na podstawie dwóch punktów	Show source $x=\frac{y_0 \cdot \left(x_1-x_0\right)}{y_1-y_0}+x_0$	$x$ - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0), $x_0$ , $y_0$ - współrzędne pierwszego punktu, $x_1$ , $y_1$ - współrzędne drugiego punktu.
Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej	Show source $y=a \cdot x^{2}+b \cdot x+c$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $a$ , $b$ , $c$ - współczynniki funkcji kwadratowej (liczby stojące przed x², x oraz wyraz wolny).
Funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej	Show source $y=a\left(x-x_1\right) \cdot \left(x-x_2\right)$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $a$ - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x²), $x_1$ , $x_2$ - miejsca zerowe funkcji (argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równanie f(x)=0).
Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej	Show source $y=a\left(x-p\right)^{2}+q$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $a$ - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x²), $p$ , $q$ - współrzędne wierzchołka paraboli (w tym punkcie parabola osiąga swoje lokalne ekstremum).

Asymptoty funkcji#

Nazwa	Wzór	Legenda
Asymptota pionowa funkcji homograficznej	Show source $x=\frac{-d}{c}$	x - asymptota pionowa funkcji homograficznej, d - współczynnik d, c - współczynnik c.
Asymptota pozioma funkcji homograficznej	Show source $y=\frac{a}{c}$	y - asymptota pozioma funkcji homograficznej, a - współczynnik a, c - współczynnik c.

Wyznacznik funkcji#

Nazwa	Wzór	Legenda
Wyznacznik funkcji homograficznej	Show source $D=a \cdot d-b \cdot c$	$D$ - wyznacznik funkcji homograficznej (dla D > 0 funkcja jest rosnąca, dla D < 0 malejąca), a, b, c, d - współczynniki funkcji homograficznej (parametery definujące konkretną funkcję homograficzną, c ≠ 0).
Wyznacznik trójmianu kwadratowego	Show source $\Delta=b^{2}-4~a \cdot c$	$\Delta$ - wyznacznik trójmianu kwadratowego, $a$ , $b$ , $c$ - współczynniki funkcji kwadratowej (liczby stojące przed x², x oraz wyraz wolny).

Miejsca zerowe funkcji (pierwiastki)#

Nazwa	Wzór	Legenda
Miejsce zerowe funkcji homograficznej	Show source $x=\frac{-b}{a}$	$x$ - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0), a - współczynnik a, b - współczynnik b.
Miejsce zerowe funkcji liniowej	Show source $x=\frac{-b}{a}$	$a$ - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem), $b$ - wyraz wolny (funkcja liniowa przecina oś OY w punkcie (0,b)), $x$ - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0).
Miejsce zerowe funkcji liniowej w postaci kanonicznej	Show source $x=x_0-\frac{y_0}{a}$	$x$ - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0), $a$ - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem), $x_0$ , $y_0$ - współrzędne punktu.
Miejsce zerowe funkcji liniowej na podstawie dwóch punktów	Show source $x=\frac{y_0 \cdot \left(x_1-x_0\right)}{y_1-y_0}+x_0$	$x$ - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0), $x_0$ , $y_0$ - współrzędne pierwszego punktu, $x_1$ , $y_1$ - współrzędne drugiego punktu.
Pierwsze miejsce zerowe funkcji kwadratowej	Show source $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2~a}$	$x_1$ - pierwsze miejsce zerowe funkcji, $b$ - współczynnik przy pierwszej potędze (liczba stojąca przed x), $a$ - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x²), $\Delta$ - wyznacznik trójmianu kwadratowego.
Drugie miejsce zerowe funkcji kwadratowej	Show source $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2~a}$	$x_2$ - drugie miejsce zerowe funkcji, $b$ - współczynnik przy pierwszej potędze (liczba stojąca przed x), $a$ - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x²), $\Delta$ - wyznacznik trójmianu kwadratowego.

Trochę informacji#

Funkcja homograficzna to funkcja, którą można przedstawić w postaci:

$y=\frac{a \cdot x+b}{c \cdot x+d}$
gdzie:
- $y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
- $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
- a, b, c, d - współczynniki funkcji homograficznej (parametery definujące konkretną funkcję homograficzną, c ≠ 0).
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola. Aby określić monotoniczność funkcji homograficznej możemy obliczyć jej wyznacznik:

$D=a \cdot d-b \cdot c$
Wówczas w zależności od wartości wyznacznika możliwe są następujące scenariusze:
- wyznacznik jest ujemny (D < 0) - funkcja jest malejąca,
- wyznacznik jest dodatni (D > 0) - funkcja jest rosnąca,
- wyznacznik jest równy zero (D = 0) - funkcja redukuje się do funkcji stałej.
W ogólnym przypadku funkcja homograficzna ma dwie asymptoty:
- asymptotę poziomą daną równaniem:
  
  $y=\frac{a}{c}$
- oraz asymptotę pionową:
  
  $x=\frac{-d}{c}$
Funkcja homograficzna może mieć dokładnie jedno miejsce zerowe lub nie mieć miejsc zerowych. Zależy to od współczynnika b:
- jeżeli współczynnik b jest różny od zera (b ≠ 0) - funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe, jej wykres przecina oś OX w punkcie:
  
  $x=\frac{-b}{a}$
- jeżeli współczynnik b jest równy zero (b = 0) - funkcja nie ma miejsc zerowych, jej wykres nie przecina osi OX.
Szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej jest funkcja b/x (często oznaczana po prostu a/x, wtedy formalny parametr b jest przemianowany na a):

$y=\frac{b}{x}$
Funkcja b/x nie posiada miejsc zerowych, a jej punktem symetrii jest początek układu współrzędnych (punkt (0,0)).

Tagi i linki do tej strony#

Tagi:

funkcja_homograficzna · tablice_matematyczne_funkcja_homograficzna · wzory_na_funkcje_homograficzna · wzory_na_asymptoty_funkcji_homograficznej · wzor_na_asymptote_pozioma_funkcji_homograficznej · wzor_na_asymptote_pionowa_funkcji_homograficznej · wzor_na_wyznacznik_funkcji_homograficznej · wzor_na_pierwiastek_funcji_homograficnzej · wzor_na_miejsce_zerowe_funkcji_homograficznej · wzor_na_asymptoty_hiperboli

Tagi do wersji anglojęzycznej:

homographic_function · math_tables_homographic_function · homographic_function_formulas · homographic_asymptotes_formulas · vertical_asymptote_of_homographic_function · horizontal_asymptote_of_homographic_function · discriminant_of_homographic_function_formula · homographic_function_root_formula · zero_of_homographic_function_formula · hiperbola_asymptotes_formulas

Jakie tagi ma ten kalkulator#

TABELA · MATEMATYKA · A -> Z (wszystkie)

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

https://calculla.pl/funkcja_homograficzna

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#