Tablice matematyczne: wzory na funkcję homograficzną
Tabele zawierają typowe wzory powiązane z funkcją homograficzną takie jak wyznacznik funkcji (ad-bc) czy równania asymptot (pionowej i poziomej).

Wersja beta

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !
⌛ Wczytuję...

Różne postacie funkcji

NazwaWzórLegenda
Funkcja wykładnicza w postaci ogólnejShow sourcey=ax y={ a}^{ x}
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • aa - podstawa funkcji wykładniczej.
Funkcja wykładnicza o podstawie e (często zapisywana jako exp(x))Show sourceexp(x)=ex exp(x)={ e}^{ x}
  • exp(x)exp(x) - wartość funkcji eksponens,
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • ee - liczba e (stała matematyczna, podstawa logarytmu naturalnego).
Funkcja homograficzna w postaci ogólnejShow sourcey=a x+bc x+d y=\frac{ a~ x+ b}{ c~ x+ d}
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • a, b, c, d - współczynniki funkcji homograficznej (parametery definujące konkretną funkcję homograficzną, c ≠ 0).
Funkcja b/xShow sourcey=bx y=\frac{ b}{ x}
  • yy - wartość funkcji b/x (wartość funkcji f(x)=b/x dla podanego x-a, parametry a,d są równe zero, a parametr c wynosi 1),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • b - współczynnik b.
Funkcja liniowa w postaci ogólnejShow sourcey=a x+b y= a~ x+ b
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • aa, bb - współczynniki funkcji liniowej (współczynnik kierunkowy oraz wyraz wolny).
Funkcja liniowa w postaci kanonicznejShow sourcey=a(xx0)+y0 y=\mathrm{a}\left( x- x_0\right)+ y_0
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • aa - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem),
  • x0x_0, y0y_0 - współrzędne punktu.
Funkcja liniowa określona przez parę punktówShow sourceyy0xx0=y1y0x1x0\frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • x0x_0, y0y_0 - współrzędne pierwszego punktu,
  • x1x_1, y1y_1 - współrzędne drugiego punktu.
Miejsce zerowe funkcji liniowej na podstawie dwóch punktówShow sourcex=y0(x1x0)y1y0+x0 x=\frac{ y_0\cdot\left( x_1- x_0\right)}{ y_1- y_0}+ x_0
  • xx - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0),
  • x0x_0, y0y_0 - współrzędne pierwszego punktu,
  • x1x_1, y1y_1 - współrzędne drugiego punktu.
Funkcja kwadratowa w postaci ogólnejShow sourcey=a x2+b x+c y= a~{ x}^{2}+ b~ x+ c
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • aa, bb, cc - współczynniki funkcji kwadratowej (liczby stojące przed x2, x oraz wyraz wolny).
Funkcja kwadratowa w postaci iloczynowejShow sourcey=a(xx1) (xx2) y=\mathrm{a}\left( x- x_1\right)~\left( x- x_2\right)
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • aa - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x2),
  • x1x_1, x2x_2 - miejsca zerowe funkcji (argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równanie f(x)=0).
Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznejShow sourcey=a(xp)2+q y={\mathrm{a}\left( x- p\right)}^{2}+ q
  • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
  • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
  • aa - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x2),
  • pp, qq - współrzędne wierzchołka paraboli (w tym punkcie parabola osiąga swoje lokalne ekstremum).

Asymptoty funkcji

NazwaWzórLegenda
Asymptota pionowa funkcji homograficznejShow sourcex=dc x=\frac{- d}{ c}
  • x - asymptota pionowa funkcji homograficznej,
  • d - współczynnik d,
  • c - współczynnik c.
Asymptota pozioma funkcji homograficznejShow sourcey=ac y=\frac{ a}{ c}
  • y - asymptota pozioma funkcji homograficznej,
  • a - współczynnik a,
  • c - współczynnik c.

Wyznacznik funkcji

NazwaWzórLegenda
Wyznacznik funkcji homograficznejShow sourceD=adbc D= a\cdot d- b\cdot c
  • DD - wyznacznik funkcji homograficznej (dla D > 0 funkcja jest rosnąca, dla D < 0 malejąca),
  • a, b, c, d - współczynniki funkcji homograficznej (parametery definujące konkretną funkcję homograficzną, c ≠ 0).
Wyznacznik trójmianu kwadratowegoShow sourceΔ=b24 a c \Delta={ b}^{2}-4~ a~ c
  • Δ\Delta - wyznacznik trójmianu kwadratowego,
  • aa, bb, cc - współczynniki funkcji kwadratowej (liczby stojące przed x2, x oraz wyraz wolny).

Miejsca zerowe funkcji (pierwiastki)

NazwaWzórLegenda
Miejsce zerowe funkcji homograficznejShow sourcex=ba x=\frac{- b}{ a}
  • xx - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0),
  • a - współczynnik a,
  • b - współczynnik b.
Miejsce zerowe funkcji liniowejShow sourcex=ba x=\frac{- b}{ a}
  • aa - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem),
  • bb - wyraz wolny (funkcja liniowa przecina oś OY w punkcie (0,b)),
  • xx - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0).
Miejsce zerowe funkcji liniowej w postaci kanonicznejShow sourcex=x0y0a x= x_0-\frac{ y_0}{ a}
  • xx - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0),
  • aa - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem),
  • x0x_0, y0y_0 - współrzędne punktu.
Miejsce zerowe funkcji liniowej na podstawie dwóch punktówShow sourcex=y0(x1x0)y1y0+x0 x=\frac{ y_0\cdot\left( x_1- x_0\right)}{ y_1- y_0}+ x_0
  • xx - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0),
  • x0x_0, y0y_0 - współrzędne pierwszego punktu,
  • x1x_1, y1y_1 - współrzędne drugiego punktu.
Pierwsze miejsce zerowe funkcji kwadratowejShow sourcex1=bΔ2 a x_1=\frac{- b-\sqrt{ \Delta}}{2~ a}
  • x1x_1 - pierwsze miejsce zerowe funkcji,
  • bb - współczynnik przy pierwszej potędze (liczba stojąca przed x),
  • aa - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x2),
  • Δ\Delta - wyznacznik trójmianu kwadratowego.
Drugie miejsce zerowe funkcji kwadratowejShow sourcex2=b+Δ2 a x_2=\frac{- b+\sqrt{ \Delta}}{2~ a}
  • x2x_2 - drugie miejsce zerowe funkcji,
  • bb - współczynnik przy pierwszej potędze (liczba stojąca przed x),
  • aa - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x2),
  • Δ\Delta - wyznacznik trójmianu kwadratowego.

Trochę informacji

  • Funkcja homograficzna to funkcja, którą można przedstawić w postaci:
    y=a x+bc x+d y=\frac{ a~ x+ b}{ c~ x+ d}
    gdzie:
    • yy - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
    • xx - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
    • a, b, c, d - współczynniki funkcji homograficznej (parametery definujące konkretną funkcję homograficzną, c ≠ 0).

  • Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola. Aby określić monotoniczność funkcji homograficznej możemy obliczyć jej wyznacznik:
    D=adbc D= a\cdot d- b\cdot c
    Wówczas w zależności od wartości wyznacznika możliwe są następujące scenariusze:
    • wyznacznik jest ujemny (D < 0) - funkcja jest malejąca,
    • wyznacznik jest dodatni (D > 0) - funkcja jest rosnąca,
    • wyznacznik jest równy zero (D = 0) - funkcja redukuje się do funkcji stałej.
  • W ogólnym przypadku funkcja homograficzna ma dwie asymptoty:
    • asymptotę poziomą daną równaniem:
      y=ac y=\frac{ a}{ c}
    • oraz asymptotę pionową:
      x=dc x=\frac{- d}{ c}
  • Funkcja homograficzna może mieć dokładnie jedno miejsce zerowe lub nie mieć miejsc zerowych. Zależy to od współczynnika b:
    • jeżeli współczynnik b jest różny od zera (b ≠ 0) - funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe, jej wykres przecina oś OX w punkcie:
      x=ba x=\frac{- b}{ a}
    • jeżeli współczynnik b jest równy zero (b = 0) - funkcja nie ma miejsc zerowych, jej wykres nie przecina osi OX.
  • Szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej jest funkcja b/x (często oznaczana po prostu a/x, wtedy formalny parametr b jest przemianowany na a):
    y=bx y=\frac{ b}{ x}
    Funkcja b/x nie posiada miejsc zerowych, a jej punktem symetrii jest początek układu współrzędnych (punkt (0,0)).

Tagi i linki do tej strony

Jakie tagi ma ten kalkulator

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.