Tabele zawierają typowe wzory powiązane z funkcją kwadratową takie jak różne postacie funkcji (ogólna, iloczynowa, kanoniczna) czy wzór na wyróżnik trójmianu kwadratowego często nazywany po prostu deltą.

Wersja beta#

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !

⌛ Wczytuję...

Różne postacie funkcji#

Nazwa	Wzór	Legenda
Funkcja wykładnicza w postaci ogólnej	Show source $y=a^{x}$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $a$ - podstawa funkcji wykładniczej.
Funkcja wykładnicza o podstawie e (często zapisywana jako exp(x))	Show source $exp(x)=e^{x}$	$exp(x)$ - wartość funkcji eksponens, $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $e$ - liczba e (stała matematyczna, podstawa logarytmu naturalnego).
Funkcja homograficzna w postaci ogólnej	Show source $y=\frac{a \cdot x+b}{c \cdot x+d}$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), a, b, c, d - współczynniki funkcji homograficznej (parametery definujące konkretną funkcję homograficzną, c ≠ 0).
Funkcja b/x	Show source $y=\frac{b}{x}$	$y$ - wartość funkcji b/x (wartość funkcji f(x)=b/x dla podanego x-a, parametry a,d są równe zero, a parametr c wynosi 1), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), b - współczynnik b.
Funkcja liniowa w postaci ogólnej	Show source $y=a \cdot x+b$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $a$ , $b$ - współczynniki funkcji liniowej (współczynnik kierunkowy oraz wyraz wolny).
Funkcja liniowa w postaci kanonicznej	Show source $y=a\left(x-x_0\right)+y_0$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $a$ - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem), $x_0$ , $y_0$ - współrzędne punktu.
Funkcja liniowa określona przez parę punktów	Show source $\frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $x_0$ , $y_0$ - współrzędne pierwszego punktu, $x_1$ , $y_1$ - współrzędne drugiego punktu.
Miejsce zerowe funkcji liniowej na podstawie dwóch punktów	Show source $x=\frac{y_0 \cdot \left(x_1-x_0\right)}{y_1-y_0}+x_0$	$x$ - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0), $x_0$ , $y_0$ - współrzędne pierwszego punktu, $x_1$ , $y_1$ - współrzędne drugiego punktu.
Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej	Show source $y=a \cdot x^{2}+b \cdot x+c$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $a$ , $b$ , $c$ - współczynniki funkcji kwadratowej (liczby stojące przed x², x oraz wyraz wolny).
Funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej	Show source $y=a\left(x-x_1\right) \cdot \left(x-x_2\right)$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $a$ - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x²), $x_1$ , $x_2$ - miejsca zerowe funkcji (argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równanie f(x)=0).
Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej	Show source $y=a\left(x-p\right)^{2}+q$	$y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)), $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną), $a$ - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x²), $p$ , $q$ - współrzędne wierzchołka paraboli (w tym punkcie parabola osiąga swoje lokalne ekstremum).

Wyznacznik funkcji#

Nazwa	Wzór	Legenda
Wyznacznik funkcji homograficznej	Show source $D=a \cdot d-b \cdot c$	$D$ - wyznacznik funkcji homograficznej (dla D > 0 funkcja jest rosnąca, dla D < 0 malejąca), a, b, c, d - współczynniki funkcji homograficznej (parametery definujące konkretną funkcję homograficzną, c ≠ 0).
Wyznacznik trójmianu kwadratowego	Show source $\Delta=b^{2}-4~a \cdot c$	$\Delta$ - wyznacznik trójmianu kwadratowego, $a$ , $b$ , $c$ - współczynniki funkcji kwadratowej (liczby stojące przed x², x oraz wyraz wolny).

Miejsca zerowe funkcji (pierwiastki)#

Nazwa	Wzór	Legenda
Miejsce zerowe funkcji homograficznej	Show source $x=\frac{-b}{a}$	$x$ - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0), a - współczynnik a, b - współczynnik b.
Miejsce zerowe funkcji liniowej	Show source $x=\frac{-b}{a}$	$a$ - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem), $b$ - wyraz wolny (funkcja liniowa przecina oś OY w punkcie (0,b)), $x$ - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0).
Miejsce zerowe funkcji liniowej w postaci kanonicznej	Show source $x=x_0-\frac{y_0}{a}$	$x$ - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0), $a$ - współczynnik kierunkowy (liczba określająca kierunek i stromość prostej, czasami nazywana gradientem), $x_0$ , $y_0$ - współrzędne punktu.
Miejsce zerowe funkcji liniowej na podstawie dwóch punktów	Show source $x=\frac{y_0 \cdot \left(x_1-x_0\right)}{y_1-y_0}+x_0$	$x$ - miejsce zerowe funkcji (argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero, rozwiązanie równania f(x) = 0), $x_0$ , $y_0$ - współrzędne pierwszego punktu, $x_1$ , $y_1$ - współrzędne drugiego punktu.
Pierwsze miejsce zerowe funkcji kwadratowej	Show source $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2~a}$	$x_1$ - pierwsze miejsce zerowe funkcji, $b$ - współczynnik przy pierwszej potędze (liczba stojąca przed x), $a$ - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x²), $\Delta$ - wyznacznik trójmianu kwadratowego.
Drugie miejsce zerowe funkcji kwadratowej	Show source $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2~a}$	$x_2$ - drugie miejsce zerowe funkcji, $b$ - współczynnik przy pierwszej potędze (liczba stojąca przed x), $a$ - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x²), $\Delta$ - wyznacznik trójmianu kwadratowego.

Wierzchołek paraboli#

Nazwa	Wzór	Legenda
Współrzędna x wierzchołka paraboli	Show source $p=\frac{-b}{2~a}$	$p$ - współrzędna x wierzchołka paraboli (dla tego argumentu funkcja osiąga swoje lokalne ekstremum), $b$ - współczynnik przy pierwszej potędze (liczba stojąca przed x), $a$ - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x²).
Współrzędna y wierzchołka paraboli	Show source $q=\frac{-\Delta}{4~a}$	$q$ - współrzędna y wierzchołka paraboli, $\Delta$ - wyznacznik trójmianu kwadratowego, $a$ - współczynnik przy drugiej potędze (liczba stojąca przed x²).

Trochę informacji#

Funkcja kwadratowa to funkcja, która daje się przedstawić w postaci:

$y=a \cdot x^{2}+b \cdot x+c$
gdzie:
- $y$ - wartość funkcji (wartość funkcji w punkcie x, często oznaczane jako f(x)),
- $x$ - argument funkcji (nazywana czasami zmienną niezależną),
- $a$ , $b$ , $c$ - współczynniki funkcji kwadratowej (liczby stojące przed x², x oraz wyraz wolny).
Funkcja kwadratowa bywa czasem nazywana trójmianem kwadratowym.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. W zależności od wartości współczynnika przy drugiej potędze (a) możliwe są następujące scenariusze:
- gdy współczynnik przy drugiej potędze jest dodatni (a > 0) - ramiona paraboli są skierowane ku górze,
- gdy współczynnik przy drugiej potędze jest ujemny (a < 0) - ramiona paraboli skierowane są do dołu,
- w przypadku gdy współczynnik przy drugiej potędze jest równy zero (a = 0) - funkcja kwadratowa redukuje się do funkcji liniowej.
Funkcja kwadratowa może mieć jedno, dwa, lub nie mieć wcale miejsc zerowych. Aby sprawdzić liczbę miejsc zerowych (czasem nazywanych też pierwiastkami) możemy obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (potocznie nazywany deltą):

$\Delta=b^{2}-4~a \cdot c$
gdzie:
- $\Delta$ - wyznacznik trójmianu kwadratowego,
- $a$ , $b$ , $c$ - współczynniki funkcji kwadratowej (liczby stojące przed x², x oraz wyraz wolny).
wówczas możliwe są następujące scenariusze:
- wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny (Δ < 0) - funkcja nie ma miejsc zerowych, wykresem funkcji jest parabola, która znajduje się w całości nad osią OX lub pod osią OX,
- wyróżnik trójmianu kwadratowego jest równy zero (Δ = 0) - funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe, wykresem funkcji jest parabola, której wierzchołek leży na osi OX:
  
  $p=\frac{-b}{2~a}$
- wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni (Δ > 0) - funkcja ma dwa różne miejsca zerowe, wykresem funkcji jest parabola, której ramiona przecinają oś OX:
  
  $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2~a}$
  
  $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2~a}$
Funkcja kwadratowa jest szczególnym przypadkiem funkcji wielomianowej, w której rząd wynosi 2.

Tagi i linki do tej strony#

Tagi:

funkcja_kwadratowa · trojmian_kwadratowy · tablice_matematyczne_funkcja_kwadratowa · wzor_na_wyroznik_trojmianu_kwadratowego · wzor_na_wyznacznik_funkcji_kwadratowej · wzor_na_miejsca_zerowa_funkcji_kwadratowej · wzor_na_pierwiastki_trojmianu_kwadratowego · wzor_na_delte

Tagi do wersji anglojęzycznej:

quadratic_function · math_tables_quadratic_function · quadratic_function_formulas · quadratic_function_discriminant_formula · discriminant_formula · formula_for_quadratic_function_roots

Jakie tagi ma ten kalkulator#

TABELA · MATEMATYKA · A -> Z (wszystkie)

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

https://calculla.pl/funkcja_kwadratowa

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#