Tabela zawiera wzory na przeliczanie współrzędnych z jednego układu do innego na przykład z współrzędnych kartezjańskich na walcowe lub odwrotnie. Uwzględniono zarówno dwu- jak i trójwymiarowy układ współrzędnych.

Wersja beta#

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !

⌛ Wczytuję...

Układ współrzędnych polarnych (biegunowych)#

Nazwa	Wzór	Legenda
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na polarne (biegunowe): r	Show source $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$	$r$ - promień wodzący w układzie polarnym (biegunowym), x, y - współrzędne w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na polarne (biegunowe): φ	Show source $\phi=arctan\left(\frac{x}{y}\right)$	$\phi$ - amplituda w układzie polarnym (biegunowym), x, y - współrzędne w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych polarnych (biegunowych) na kartezjańskie: x	Show source $x=r \cdot cos\left(\phi\right)$	x - współrzędna x w układzie kartezjańskim, $r$ , $\phi$ - współrzędne polarne (biegunowe): promień wodzący i amplituda.
Zamiana współrzędnych polarnych (biegunowych) na kartezjańskie: y	Show source $y=r \cdot sin\left(\phi\right)$	y - współrzędna y w układzie kartezjańskim, $r$ , $\phi$ - współrzędne polarne (biegunowe): promień wodzący i amplituda.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na polarne (biegunowe)	Show source $\begin{dcases}r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\\phi=arctan\left(\frac{x}{y}\right)\end{dcases}$	$r$ , $\phi$ - współrzędne polarne (biegunowe): promień wodzący i amplituda, x, y - współrzędne w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych polarnych (biegunowych) na kartezjańskie	Show source $\begin{dcases}x=r \cdot cos\left(\phi\right)\\y=r \cdot sin\left(\phi\right)\end{dcases}$	x, y - współrzędne w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim, $r$ , $\phi$ - współrzędne polarne (biegunowe): promień wodzący i amplituda.

Układ współrzędnych cylindrycznych (walcowych)#

Nazwa	Wzór	Legenda
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na cylindryczne (walcowe): ρ	Show source $\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$	$\rho$ - promień wodzący w układzie cylindrycznym (walcowym), x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na cylindryczne (walcowe): φ	Show source $\phi=arctan\left(\frac{x}{y}\right)$	$\phi$ - amplituda w układzie cylindrycznym (walcowym), x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na cylindryczne (walcowe): z	Show source $z=z$	$z$ - wysokość w układzie cylindrycznym (walcowym), x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na kartezjańskie: x	Show source $x=\rho \cdot cos\left(\phi\right)$	x - współrzędna x w układzie kartezjańskim, $\rho$ , $\phi$ , $z$ - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na kartezjańskie: y	Show source $y=\rho \cdot sin\left(\phi\right)$	y - współrzędna y w układzie kartezjańskim, $\rho$ , $\phi$ , $z$ - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na kartezjańskie: z	Show source $z=z$	z - współrzędna z w układzie kartezjańskim, $\rho$ , $\phi$ , $z$ - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na sferyczne: r	Show source $r=\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}$	$r$ - promień wodzący w układzie sferycznym, $\rho$ , $\phi$ , $z$ - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na sferyczne: θ	Show source $\theta=arctan\left(\frac{\rho}{z}\right)$	$\theta$ - odległość zenitalna w układzie sferycznym, $\rho$ , $\phi$ , $z$ - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na sferyczne: φ	Show source $\phi=\phi$	$\phi$ - długość azymutalna w układzie sferycznym, $\rho$ , $\phi$ , $z$ - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych sferycznych na cylindryczne (walcowe): ρ	Show source $\rho=r \cdot sin\left(\theta\right)$	$\rho$ - promień wodzący w układzie cylindrycznym (walcowym), $r$ , $\theta$ , $\phi$ - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych sferycznych na cylindryczne (walcowe): φ	Show source $\phi=\phi$	$\phi$ - amplituda w układzie cylindrycznym (walcowym), $r$ , $\theta$ , $\phi$ - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych sferycznych na cylindryczne (walcowe): z	Show source $z=r \cdot cos\left(\theta\right)$	$z$ - wysokość w układzie cylindrycznym (walcowym), $r$ , $\theta$ , $\phi$ - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na cylindryczne (walcowe)	Show source $\begin{dcases}\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\\phi=arctan\left(\frac{x}{y}\right)\\z=z\end{dcases}$	$\rho$ , $\phi$ , $z$ - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość, x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na kartezjańskie	Show source $\begin{dcases}x=\rho \cdot cos\left(\phi\right)\\y=\rho \cdot sin\left(\phi\right)\\z=z\end{dcases}$	x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim, $\rho$ , $\phi$ , $z$ - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.

Układ współrzędnych sferycznych#

Nazwa	Wzór	Legenda
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na sferyczne: r	Show source $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$	$r$ - promień wodzący w układzie sferycznym, x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na sferyczne: θ	Show source $\theta=arccos\left(\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)$	$\theta$ - odległość zenitalna w układzie sferycznym, x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na sferyczne: φ	Show source $\phi=arctan\left(\frac{y}{x}\right)$	$\phi$ - długość azymutalna w układzie sferycznym, x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych sferyczych na kartezjańskie: x	Show source $x=r \cdot sin\left(\theta\right) \cdot cos\left(\phi\right)$	x - współrzędna x w układzie kartezjańskim, $r$ , $\theta$ , $\phi$ - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych sferyczych na kartezjańskie: y	Show source $y=r \cdot sin\left(\theta\right) \cdot sin\left(\phi\right)$	y - współrzędna y w układzie kartezjańskim, $r$ , $\theta$ , $\phi$ - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych sferyczych na kartezjańskie: z	Show source $z=r \cdot cos\left(\theta\right)$	z - współrzędna z w układzie kartezjańskim, $r$ , $\theta$ , $\phi$ - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na sferyczne: r	Show source $r=\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}$	$r$ - promień wodzący w układzie sferycznym, $\rho$ , $\phi$ , $z$ - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na sferyczne: θ	Show source $\theta=arctan\left(\frac{\rho}{z}\right)$	$\theta$ - odległość zenitalna w układzie sferycznym, $\rho$ , $\phi$ , $z$ - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych cylindrycznych (walcowych) na sferyczne: φ	Show source $\phi=\phi$	$\phi$ - długość azymutalna w układzie sferycznym, $\rho$ , $\phi$ , $z$ - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość.
Zamiana współrzędnych sferycznych na cylindryczne (walcowe): ρ	Show source $\rho=r \cdot sin\left(\theta\right)$	$\rho$ - promień wodzący w układzie cylindrycznym (walcowym), $r$ , $\theta$ , $\phi$ - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych sferycznych na cylindryczne (walcowe): φ	Show source $\phi=\phi$	$\phi$ - amplituda w układzie cylindrycznym (walcowym), $r$ , $\theta$ , $\phi$ - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych sferycznych na cylindryczne (walcowe): z	Show source $z=r \cdot cos\left(\theta\right)$	$z$ - wysokość w układzie cylindrycznym (walcowym), $r$ , $\theta$ , $\phi$ - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.
Zamiana współrzędnych kartezjańskich na sferyczne	Show source $\begin{dcases}r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\\\theta=arccos\left(\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\\\phi=arctan\left(\frac{y}{x}\right)\end{dcases}$	$r$ , $\theta$ , $\phi$ - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna, x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
Zamiana współrzędnych sferyczych na kartezjańskie	Show source $\begin{dcases}x=r \cdot sin\left(\theta\right) \cdot cos\left(\phi\right)\\y=r \cdot sin\left(\theta\right) \cdot sin\left(\phi\right)\\z=r \cdot cos\left(\theta\right)\end{dcases}$	x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim, $r$ , $\theta$ , $\phi$ - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna.

Trochę informacji#

Aby opisać położenie punktu w przestrzeni potrzebne jest podanie jego współrzędnych.
Liczba współrzędnych potrzebnych do jednoznacznego opisu musi być równa liczbie wymiarów. Przykładowo:
- aby opisać położenie punktu na prostej (przestrzeń jednowymiarowa), wystarczy podać jedną liczbę,
- aby opisać położenie punktu na płaszczyźnie potrzebne jest podanie dwóch liczb np. współrzędnych kartezjańskich (x,y),
- aby opisać położenie punktu w przestrzeni trójwymiarowej potrzebne jest podanie trzech liczb np. współrzędnych kartezjańskich (x,y,z),
- itd.
O ile ilość potrzebna ilość liczb wynika jednoznacznie z liczby wymiarów, o tyle sama definicja współrzędnych może być różna.
Przykłady dwuwymiarowych układów współrzędnych są:
- układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) - para liczb $(x, y)$ , które określają położenie punktu na dwóch prostopadłych osiach.
- układ współrzędnych polarnych (biegunowych) - para liczb $(r, \phi)$ , z których pierwsza oznacza odległość od początku układu współrzędnych, a druga kąt. Związek między układem polarnym, a kartezjańskim jest następujący:
  
  $\begin{dcases}r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\\phi=arctan\left(\frac{x}{y}\right)\end{dcases}$
  
  $\begin{dcases}x=r \cdot cos\left(\phi\right)\\y=r \cdot sin\left(\phi\right)\end{dcases}$
  gdzie:
  - $r$ , $\phi$ - współrzędne polarne (biegunowe): promień wodzący i amplituda,
  - x, y - współrzędne w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim.
Przykłady trójwymiarowych układów współrzędnych to:
- trójwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) - uogólnienie układu dwuwymiarowego przez dodanie trzeciej osi, prostopadłej do pozostałych, położenie punktu opisane jest przez trzy liczby oznaczane zazwyczaj przez $(x, y, z)$ ,
- układ współrzędnych cylindrycznych (walcowych) - uogólnienie układu biegunowego przez dodanie trzeciej współrzędnej z, która pełni identyczną rolę jak w układzie kartezjańskim, w ten sposób otrzymujemy trójkę liczb $(\rho, \phi, z)$ :
  
  $\begin{dcases}\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\\phi=arctan\left(\frac{x}{y}\right)\\z=z\end{dcases}$
  
  $\begin{dcases}\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\\phi=arctan\left(\frac{x}{y}\right)\\z=z\end{dcases}$
  gdzie:
  - $\rho$ , $\phi$ , $z$ - współrzędne cylindryczne (walcowe): promień wodzący, amplituda oraz wysokość,
  - x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.
- układ współrzędnych sferycznych - inne uogólnienie układu biegunowego, jednak zamiast współrzędnej z dodany jest drugi kąt, w ten sposób otrzymujemy trzy współrzędne $(r, \theta, \phi)$ :
  
  $\begin{dcases}r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\\\theta=arccos\left(\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\\\phi=arctan\left(\frac{y}{x}\right)\end{dcases}$
  
  $\begin{dcases}x=r \cdot sin\left(\theta\right) \cdot cos\left(\phi\right)\\y=r \cdot sin\left(\theta\right) \cdot sin\left(\phi\right)\\z=r \cdot cos\left(\theta\right)\end{dcases}$
  gdzie:
  - $r$ , $\theta$ , $\phi$ - współrzędne sferyczne: promień wodzący, odległość zenitalna oraz długość azymutalna,
  - x, y, z - współrzędne w trójwymiarowym układzie kartezjańskim.

Tagi i linki do tej strony#

Tagi:

tablice_matematyczne_uklady_wspolrzednych · wzory_na_zamiane_wspolrzednych · wzory_na_zamiane_ukladu_wspolrzednych · uklad_sferyczny_wzory · uklad_polarny_wzory · uklad_cylindryczny_wzory

Tagi do wersji anglojęzycznej:

mathematical_tables_coordinate_systems · table_of_formulas_for_coordinate_conversion · coordinate_systems_formulas · spherical_system_formulas · polar_system_formulas · cylindrical_system_formulas · spherical_coordinates_formulas · polar_coordinates_formulas · cylindrical_coordinates_formulas · coordinate_conversion_formulas

Jakie tagi ma ten kalkulator#

TABELA · MATEMATYKA · FIZYKA · A -> Z (wszystkie)

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

https://calculla.pl/tablice_matematyczne_uklady_wspolrzednych

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#