Kalkulator pomocny podczas wykonywania typowych zadań związanych z ciągiem arytmetycznym takimi jak suma n początkowych wyrazów lub wyznaczenie wybranego n-tego elementu ciągu.

Wersja beta#

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !

Obliczenia symboliczne

ⓘ Wskazówka: Ten kalkulator wspiera obliczenia symboliczne. Możesz podać nam liczby ale również symbole jak a, b, pi lub nawet całe wyrażenia matematyczne np. (a+b)/2. Jeżeli nadal nie jesteś pewny/a jak możesz użyć obliczeń symbolicznych w swojej pracy zobacz na naszą stronę: Obliczenia symboliczne

Co chcesz dziś policzyć?#

Wybierz przypadek, który najlepiej pasuje do Twojej sytuacji

Znam pierwszy wyraz ciągu (

a_1

), różnicę ciągu arytmetycznego (r) oraz n i chcę obliczyć n-ty wyraz ciągu (

a_n

)Znam pierwszy wyraz ciągu (

a_1

), różnicę ciągu arytmetycznego (r) oraz n i chcę obliczyć sumę n początkowych wyrazów ciągu (

S_n

)Znam pierwszy wyraz ciągu (

a_1

), n-ty wyraz ciągu (

a_n

) oraz n i chcę obliczyć sumę n początkowych wyrazów ciągu (

S_n

)Znam (n+1)-wszy wyraz ciągu (

a_{n+1}

) oraz n-ty wyraz ciągu (

a_n

) i chcę obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego (r)Znam (n+1)-wszy wyraz ciągu (

a_{n+1}

) oraz (n-1)-wszy wyraz ciągu (

a_{n-1}

) i chcę obliczyć n-ty wyraz ciągu (

a_n

)

Dane do obliczeń - tutaj wprowadź wartości, które znasz#

N-ty wyraz ciągu ( $a_n$ )		=>
Suma n początkowych wyrazów ciągu ( $S_n$ )		=>
Różnica ciągu arytmetycznego (r) (różnica pomiędzy sąsiadującymi wyrazami ciągu: $a_{n+1} - a_n$ )		<=
Pierwszy wyraz ciągu ( $a_1$ )		<=
N		<=
(n+1)-wszy wyraz ciągu ( $a_{n+1}$ )		=>
(n-1)-wszy wyraz ciągu ( $a_{n-1}$ )		=>

Wynik: n-ty wyraz ciągu ( $a_n$ )#

Podsumowanie

Użyty wzór

Show source

a_n=a_1+\left(n-1\right) \cdot r

Wynik

Show source

1

Wynik numerycznie

Show source

1

Wynik krok po kroku

1	Show source $1+\left(1-1\right) \cdot 1$	Mnożenie przez jeden	Mnożenie przez jeden (1) daje tę samą liczbę: $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$
2	Show source $1+1-1$	Wykonano działanie arytmetyczne	-
3	Show source $2-1$	Wykonano działanie arytmetyczne	-
4	Show source $1$	Wynik	Twoje wyrażenie doprowadzone do najprostszej znanej nam postaci.

Wynik numerycznie krok po kroku

1	Show source $1$	Oryginalne wyrażenie	-
2	Show source $1$	Wynik	Twoje wyrażenie doprowadzone do najprostszej znanej nam postaci.

Trochę informacji#

Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość r:

$a_{n+1} = a_n + r$
gdzie:
- $a_n$ - dowolnie wybrany wyraz ciągu,
- $a_{n+1}$ - wyraz następujący po wyrazie $a_n$ ,
- $r$ - różnica ciągu arytmetycznego.
Powyższy wzór należy rozumieć następująco: jeśli znam jakiś element ciągu arytmetycznego ( $a_n$ ) oraz jego różnicę ( $r$ ), to mogę na tej podstawie obliczyć kolejny ( $a_{n+1}$ ).
Tę samą własność możemy zapisać też w nieco inny sposób:

$a_{n} = a_{n-1} + r$
gdzie:
- $a_n$ - dowolnie wybrany wyraz ciągu (z wyjątkiem pierwszego: $n \neq 1$ ),
- $a_{n-1}$ - wyraz występujący bezpośrednio przed $a_n$ ,
- $r$ - różnica ciągu arytmetycznego.
Wtedy taki zapis będziemy rozumieć następująco: jeśli chcę obliczyć jakiś wybrany element ciągu arytmetycznego ( $a_{n}$ ), to potrzebuję do tego znać element poprzedni ( $a_{n-1}$ ) oraz różnicę ciągu ( $r$ ).
Warto zwrócić uwagę, że tak sformułowany wzór nie działa dla pierwszego elementu ( $a_1$ ). Dzieje się tak, ponieważ on jako jedyny nie posiada elementu poprzedniego.
Aby jednoznacznie zdefiniować ciąg arytmetyczny wystarczy znajomość dwóch wartości:
- pierwszy wyraz ciągu $a_1$ ,
- oraz różnicę między dwoma kolejnymi wyrazami $r$ tzw. różnicę ciągu arytmetycznego:
  
  $r = a_{n+1} - a_n$
Ciąg arytmetyczny bywa czasem nazywamy postępem arytmetycznym.
Jeżeli zainteresowały Cię własności ciągów, to możesz zobaczyć na inne nasze kalkulatory:
- Ciąg geometryczny,
- Ciągi liczbowe.

Tagi i linki do tej strony#

Tagi:

ciag_arytmetyczny · postep_arytmetyczny · suma_ciagu_arytmetycznego · roznica_ciagu_arytmetycznego · nty_wyraz_ciagu_arytmetycznego

Tagi do wersji anglojęzycznej:

arithmetic_sequence · arithmetic_progression · sum_of_arithmetic_sequence · common_difference_of_arithmetic_sequence · nth_term_of_arithmetic_progression

Jakie tagi ma ten kalkulator#

KALKULATOR · MATEMATYKA · A -> Z (wszystkie)

Permalink#

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

https://calculla.pl/ciag_arytmetyczny?sequenceElement1=$symbolic(1)&sequenceCommonStep=$symbolic(1)&n=$symbolic(1)&ioIntentSchemeId=intent0

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#

Wersja beta#

Obliczenia symboliczne

Co chcesz dziś policzyć?#

Dane do obliczeń - tutaj wprowadź wartości, które znasz#

Wynik: n-ty wyraz ciągu (ana_nan​)#

Trochę informacji#

Tagi i linki do tej strony#

Jakie tagi ma ten kalkulator#

Permalink#

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)#

Wynik: n-ty wyraz ciągu ( $a_n$ )#