Kalkulator najprostszej postaci: potęgownie
Kalkulator znajduje najprostszą postać wyrażenia zawierającego potęgowanie. Pokazuje także kroki pośrednie - przekształcenia.

Wersja beta

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !

Dane do obliczeń - podstawa i wykładnik potęgi

Podstawa potęgi
(wyrazenie, które zamierzamy podnieść do potęgi)
Wyładnik
(stopień potęgowania, do tej liczby chcemy podnieść wykładnik)

Wyniki - Twoje wyrażenie w najprostszej postaci

Podana przez Ciebie potęga
Show source(x+y)2{\left( x+ y\right)}^{2}
Potęga w najprostszej postaci
Show sourcex2+2 xy+y2{ x}^{2}+2~ x\cdot y+{ y}^{2}
Potęgowanie krok-po-kroku
1Show source(x+y)2{\left( x+ y\right)}^{2}Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
(a+b)2=a2+2 a b+b2{\left( a+\mathrm{b}\right)}^{2}={ a}^{2}+2~ a~\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^{2}
2Show sourcex2+2 xy+y2{ x}^{2}+2~ x\cdot y+{ y}^{2}Wynik

Trochę informacji

  • Potęgowanie polega na wielokrotnym mnożeniu tej samej liczby przez samą siebie:
    an=aaaana^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}
    gdzie:
    • a - podstawa potęgi, jest to liczba, którą mnożymy przez siebie,
    • n - wykładnik potęgi, oznacza ilość wykonanych mnożeń.
    ⓘ Przykład: 23=222=82^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8
  • Zapis 232^3 czytamy jako "dwa do potęgi trzeciej" lub krócej: "dwa do trzeciej".
  • Formalnie potęgowanie to działanie dwuargumentowe, gdzie pierwszym argumentem jest podstawa (w powyższym przykładzie liczba 2), a drugim wykładnik (w powyższym przykładzie liczba 3).
  • Potęgowanie nie jest przemienne tzn. nie można zamienić podstawy z wykładnikiem. Na przykład 232^3 to inna liczba niż 323^2.
    ⚠ UWAGA! annaa^n \ne n^a
  • Podniesienie dowolnej liczby do pierwszej potęgi nie zmienia tej liczby. Na przykład 313^1 wynosi 3:
    ⓘ Zapamiętaj: a1=aa^1 = a
  • Z kolei potęgowanie przez zero zawsze daje wynik jeden np. 303^0 to dalej 1:
    ⓘ Zapamiętaj: a0=1a^0 = 1
  • Potęgowanie przez liczbę ujemną jest równoznaczne z wykonaniem identycznego działania, ale na liczbie odwrotnej. Dlatego często odwrotność liczby zapisuje się jako podniesienie do potęgi -1 np. x1x^{-1} oznacza tyle co "odwrotność liczby x" lub bardziej potocznie "odwrotność x-a". Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o liczbach odwrotnych, to możesz zobaczyć nasz inny kalkulator: Ułamki: odwrotność. W ogólności prawdziwa jest relacja:
    ⓘ Zapamiętaj: (ab)n=(ba)n\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n
  • Potęgowanie z wykładnikiem ułamkowym jest równoznaczne z pierwiastkowaniem. Wykładnik w postaci ułamka zwykłego może być użyty do zapisu potęgowania i pierwiastkowania w jednym działaniu. W ogólności prawdziwy jest wzór:
    ⓘ Zapamiętaj: apq=(aq)p=apqa^{\frac{p}{q}} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p = \sqrt[q]{a^p}

  • Z powyższego wzoru wynika, że potęgowanie i pierwiastkowanie to w rzeczywistości ten sam rodzaj działania. W praktyce oznacza to, że nie ma znaczenia w jakiej kolejności wykonamy te działania (możemy najpierw wyciągnąć pierwiastek, a potem podnieść do potęgi lub odwrotnie). W obu przypadkach otrzymamy ten sam wynik.
  • Podniesienie liczby jeden do dowolnej potęgi daje jeden. Podobnie zero do dowolnej potęgi daje zero. Wynika to z własności mnożenia przez liczbę jeden i zero:
    0n=0000n=00^n = \underbrace{0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot \ldots \cdot 0}_{n} = 0
    1n=1111n=11^n = \underbrace{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{n} = 1
  • Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o elementarnych działaniach na liczbach takich jak mnożenie możesz zobaczyć nasz inny kalkulator: Działania na liczbach.
  • W przypadku liczb ujemnych, potęgi o parzystym wykładniku dają wynik dodatni, natomiast potęgi o wykładniku nieparzystym dają wynik ujemny. W ogólności możemy napisać:
    (a)n={angdy n jest parzysteangdy n jest nieparzyste \left(-a\right)^n = \left\{ \begin{array}{ll} a^n & \textrm{gdy n jest parzyste}\\ -a^n & \textrm{gdy n jest nieparzyste}\\ \end{array} \right.

Komputery i języki programowania

  • W niektórych językach programowania potęgowanie jest wbudowane w składnię samego języka np.:
    • Algol, Commodore BASIC:
      x ↑ y

    • AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram Language (Mathematica), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX\TeX, LaTeX\LaTeX, TI-BASIC, bc, Haskell, Lua oraz Calculla:
      x ^ y

    • Haskell (dla wykładników całkowitych), D:
      x ^^ y

    • Ada, Z shell, Korn shell, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, Groovy, JavaScript, OCaml, F#, Perl, PHP, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Haskell (dla wykładników zmiennoprzecinkowych), Turing, VHDL:
      x ** y
  • W językach programowana, w których potęgowanie nie jest integralną częścią składni, potęgowanie realizowane jest za pomocą funkcji bibliotecznej np.:
    • C, C++:
      pow(x, y)

    • C#:
      Math.Pow(x, y)

    • Erlang, Javascript:
      Math.pow(x, y)
  • Przykłady jak można samodzielnie zaimplementować potęgowanie (z pominięciem funkcji bibliotecznych lub wbudowanego operatora jeśli istnieje) w różnych językach programowania można znaleźć na stronie rosettacode.org.

Tagi i linki do tej strony

Jakie tagi ma ten kalkulator

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.