Tablice matematyczne: popularne wzory z kombinatoryki
Tabele zawierają popularne wzory użyteczne w kombinatoryce takie jak liczba wariacji (z lub bez powtórzeń) i symbol Netwona.

Wersja beta

TO JEST WERSJA TESTOWA
Ten kalkulator dopiero powstaje - właśnie nad nim pracujemy.
To znaczy, że może działać poprawnie, ale nie musi.
Jak najbardziej możesz go użyć. Może nawet uzyskasz poprawne wyniki.
Prosimy jednak, abyś sprawdził uzyskane wyniki we własnym zakresie. Potwierdź je przed wykorzystaniem, bo mogą być błędne.
W każdym razie - prace trwają. Ta podstrona powinna zostać ukończona już wkrótce. Zapraszamy !
Jeśli masz jakieś pomysły, uwagi - daj znać !
⌛ Wczytuję...

Podsumowanie

Rodzaj operacjiKolejność elementów ma znaczenieZachowuje wszystkie elementyLiczba elemetów po przekształceniuPrzepis tworzeniaWzór
Permutacje bez powtórzeńtak tak Tyle samo jak przed operacją.
  • Mieszamy kolejność elementów.
Show source-
Waracje bez powtórzeńtak nie Tyle samo lub mniej niż przed operacją.
  • Wybieramy niektóre elementy,
  • i układamy z nich nowy ciąg.
Show source-
Kombinacje bez powtórzeńnie nie Tyle samo lub mniej niż przed operacją.
  • Wybieramy niektóre elementy.
Show source-
Permutacje z powtórzeniamitak tak Tyle samo jak przed operacją.
  • Mieszamy kolejność elementów,
  • i ignorujemy powtarzające się wyniki.
Show source-
Wariacje z powtórzeniamitak nie Tyle samo, mniej lub więcej niż przed operacją.
  • Wybieramy niektóre elementy,
  • duplikujemy niektóre z nich (jeśli chcemy),
  • i układamy nowy ciąg.
Show source-
Kombinacje z powtórzeniaminie nie Tyle samo, mniej lub więcej niż przed operacją.
  • Wybieramy niektóre elementy,
  • i duplikujemy niektóre z nich (jeśli chcemy).
Show source-

Silnia

NazwaWzórLegenda
SilniaShow sourcen!=1234(n1)nn! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots (n-1) \cdot n-
Silnia (definicja rekurencyjna)Show sourcen!={1,n<2n(n1)!,n2n!=\begin{cases}1 &, n < 2\\n \cdot (n - 1)! &, n \ge 2\end{cases}-
Silnia podwójna (definicja rekurencyjna)Show sourcen!!={1,n<2n(n2)!!,n2n!!=\begin{cases}1 &, n < 2\\n \cdot (n - 2)!! &, n \ge 2\end{cases}-
Silnia wielokrotna (definicja rekurencyjna)Show sourcen!(k)={n,0<nkn((nk)!(k)),n>kn!^{(k)}=\begin{cases}n &, 0 < n \le k\\n \left((n-k)!^{(k)}\right) &, n > k\end{cases}-

Symbol Newtona i wzory powiązane z nim

NazwaWzórLegenda
Symbol NewtonaShow source(nk)=n!k!(nk)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}-
Dwumian NewtonaShow source(a+b)n=k=0k=n(nk)ankbk\left(a + b\right)^n = \sum_{k=0}^{k=n} \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k-

Wariacje

NazwaWzórLegenda
Wariacje z powtórzeniamiShow sourceVnk=nk\overline{V}_{n}^{k} = n ^ {k}
  • Vnk\overline{V}_{n}^{k} - liczba możliwych wariacji z powtórzeniami (na przykład może to być ilość 3-literowych wyrazów zbudowanych z 26 możliwych liter alfabetu: aaa, aab, aba itd.),
  • nn - liczba elementów w puli (na przykład może to być liczba liter w alfabecie, z których budujemy wyrazy),
  • kk - liczba elementów, ktore są w użyciu (np. może to być długość wyrazu albo ilość kul, które wyciągamy z pojemnika).
Wariacje bez powtórzeńShow sourceVnk=n!(nk)!V_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}
  • VnkV_{n}^{k} - liczba możliwych wariacji bez powtórzeń (na przykład może to być ilość 3-literowych wyrazów zbudowanych z 26 możliwych liter alfabetu, jednak z zastrzeżeniem, że każda litera może być użyta tylko raz: abc, abd, dac itd.),
  • nn - liczba elementów w puli (na przykład może to być liczba liter w alfabecie, z których budujemy wyrazy),
  • kk - liczba elementów, ktore są w użyciu (np. może to być długość wyrazu albo ilość kul, które wyciągamy z pojemnika).

Kombinacje

NazwaWzórLegenda
Kombinacje z powtórzeniamiShow sourceCnk=(k+n1)!k!(n1)!\overline{C}_{n}^{k} = \frac{(k + n - 1)!}{k! (n - 1)!}
  • Cnk\overline{C}_{n}^{k} - liczba możliwych kombinacji z powtórzeniami,
  • nn - liczba elementów w puli (na przykład może to być liczba liter w alfabecie, z których budujemy wyrazy),
  • kk - liczba elementów, ktore są w użyciu (np. może to być długość wyrazu albo ilość kul, które wyciągamy z pojemnika).
Kombinacje bez powtórzeńShow sourceCnk=(nk)=n!k!(nk)!C_{n}^{k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}
  • CnkC_{n}^{k} - liczba możliwych kombinacji bez powtórzeń,
  • nn - liczba elementów w puli (na przykład może to być liczba liter w alfabecie, z których budujemy wyrazy),
  • kk - liczba elementów, ktore są w użyciu (np. może to być długość wyrazu albo ilość kul, które wyciągamy z pojemnika).

Permutacje

NazwaWzórLegenda
Permutacje z powtórzeniamiShow sourcePnn1,n2,,nk=n!n1!n2!nk!P_{n}^{n1,n2,\dots,n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots n_k!}
  • Pnn1,n2,,nkP_{n}^{n1,n2,\dots,n_k} - liczba możliwych permutacji z powtórzeniami ciągu n-elementowego,
  • nn - liczba elementów w puli (na przykład może to być liczba liter w alfabecie, z których budujemy wyrazy),
  • n1n_1 - częstotliwość występowania pierwszego elementu,
  • n2n_2 - częstotliwość występowania drugiego elementu,
  • nkn_k - częstotliwość występowania k-tego elementu (np. częstotliwość występowania litery "a" w słowie "ala", wynosi 2).
Permutacje bez powtórzeńShow sourcePn=n!P_{n} = n!
  • PnP_{n} - liczba możliwych permutacji bez powtórzeń ciągu n-elementowego,
  • nn - liczba elementów w puli (na przykład może to być liczba liter w alfabecie, z których budujemy wyrazy).

Trochę informacji

  • Permutacja polega na zmianie kolejności elementów w ciągu. Potocznie możemy powiedzieć, że permutacja polega na wymieszaniu elementów.
  • Wynik permutacji zawiera tyle samo elementów co zbiór wyjściowy.
  • Jeśli dysponujemy zbiorem n-elementowym, to ilość jego permutacji wynosi:
    Pn=n!P_{n} = n!
    gdzie:
    • PnP_{n} - liczba możliwych permutacji bez powtórzeń ciągu n-elementowego,
    • nn - liczba elementów w puli (na przykład może to być liczba liter w alfabecie, z których budujemy wyrazy).
  • Jeśli niektóre elementy w ciągu wyjściowym powtarzają się, wówczas nie wszystkie permutacje będą unikalne np. zamiana 1 i 3 litery w słowie "ala" daje to samo słowo. Jeśli wykluczymy powtarzające się wyrazy, to ilość permutacji wynosi:
    Pnn1,n2,,nk=n!n1!n2!nk!P_{n}^{n1,n2,\dots,n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots n_k!}
    gdzie:
    • Pnn1,n2,,nkP_{n}^{n1,n2,\dots,n_k} - liczba możliwych permutacji z powtórzeniami ciągu n-elementowego,
    • nn - liczba elementów w puli (na przykład może to być liczba liter w alfabecie, z których budujemy wyrazy),
    • n1n_1 - częstotliwość występowania pierwszego elementu,
    • n2n_2 - częstotliwość występowania drugiego elementu,
    • nkn_k - częstotliwość występowania k-tego elementu (np. częstotliwość występowania litery "a" w słowie "ala", wynosi 2).
  • Wariacja polega na wybraniu dowolnej ilości elementów z puli po czym ułożenie z nich nowego ciągu.
  • Długość ciągu po wariacji może być różna od ciągu wyjściowego. W zależności od tego, czy dany element możemy użyć ponownie może być ona większa, mniejsza lub taka sama jak długość ciągu wyjściowego.
  • Jeśli liczba elementów w puli to n, a my wybieramy k elementów wówczas ilość możliwych wariacji wynosi:
    Vnk=n!(nk)!V_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}
    lub jeśli przyjmiemy, że ten sam element (np. literę alfabetu) możemy użyć więcej niż raz:
    Vnk=nk\overline{V}_{n}^{k} = n ^ {k}
  • Kombinacja polega na wybraniu dowolnej ilości elementów z puli ale bez układania z nich nowego ciągu. Po prostu wybieramy kilka elementów z puli i... to wszystko.
  • W przypadku kombinacji kolejność elementów nie ma znaczenia. Ważne jest jedynie czy dany element jest w użyciu lub nie (np. czy dana liczba została wylosowana w LOTTO).
  • Jeśli dysponujemy zbiorem n-elementowym i wybieramy z niego k elementów, to ilość możliwych kombinacji wynosi:
    Cnk=(nk)=n!k!(nk)!C_{n}^{k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}
    lub jeśli przyjmiemy, że ten sam element możemy wyciągnąć więcej niż raz:
    Cnk=(k+n1)!k!(n1)!\overline{C}_{n}^{k} = \frac{(k + n - 1)!}{k! (n - 1)!}
  • ⓘ Przykład: Załóżmy, że dysponujemy zbiorem {1,2,3,4}\{1,2,3,4\}. Przykładowe permutacje, kombinacje lub wariacje tego zbioru to:
    • permutacje bez powtórzeń, po prostu mieszamy kolejność elementów na wszystkie możliwe sposoby:
      {1,2,3,4},
      {2,1,3,4},
      {3,1,2,4},
      {1,3,2,4},
      {2,3,1,4},
      {3,2,1,4},
      {3,2,4,1},
      {2,3,4,1},
      {4,3,2,1},
      {3,4,2,1},
      {2,4,3,1},
      {4,2,3,1},
      {4,1,3,2},
      {1,4,3,2},
      {3,4,1,2},
      {4,3,1,2},
      {1,3,4,2},
      {3,1,4,2},
      {2,1,4,3},
      {1,2,4,3},
      {4,2,1,3},
      {2,4,1,3},
      {1,4,2,3},
      {4,1,2,3},

    • wariacje 2-elementowe bez powtórzeń, wybieramy po 2 elementy i układamy z nich nowy ciąg, kolejność ma znaczenie:
      {1,2}, {1,3}, {1,4},
      {2,1}, {2,3}, {2,4},
      {3,1}, {3,2}, {3,4},

    • wariacje 2-elementowe z powtórzeniami, tak jak wyżej ale tą samą liczbę możemy użyć więcej niż raz:
      {1,1}, {1,2}, {1,3}, {1,4},
      {2,1}, {2,2}, {2,3}, {2,4},
      {3,1}, {3,2}, {3,3}, {3,4},
      {4,1}, {4,2}, {4,3}, {4,4},

    • kombinacje 2-elementowe bez powtórzeń, po prostu wyciągamy po 2 liczby z puli i nie robimy z nimi... nic. Czyli nie układamy z nich nowego ciągu. Kolejność nie ma znaczenia:
      {1,2}, {1,3}, {1,4},
      {2,3}, {2,4}
      {3,4}.

    • kombinacje 2-elementowe z powtórzeniami, tak jak wyżej, ale tą samą liczbę możemy wyciągnąć więcej niż raz:
      {1,1}, {1,2}, {1,3}, {1,4},
      {2,2}, {2,3}, {2,4}
      {3,3}, {3,4},
      {4,4}.
  • ⓘ Wskazówka: Jeśli interesuje Cię kombinatoryka możesz sprawdzić nasze inne kalkulatory:
    • tablice kombinatoryczne - krótka ściągawka z popularnymi wzorami powiązanymi z kombinatoryką,
    • generator permutacji - proste narzędzie pozwalające zobaczyć listę wszystkich możliwych permutacji (z lub bez powtórzeń) na podstawie wpisanej puli elementów,
    • generator kombinacji - proste narzędzie pozwalające zobaczyć listę wszystkich możliwych kombinacji (z lub bez powtórzeń) na podstawie wpisanej puli elementów-
    • generator wariacji - proste narzędzie pozwalające zobaczyć listę wszystkich możliwych wariacji (z lub bez powtórzeń) na podstawie wpisanej puli elementów.

Nie do końca poważnie

  • Zespół Brygada Kryzys o nauce kombinatoryki:
    "Powiedz mi o co ci w ogóle chodzi,
    po co ci te kombinacje (...)"

Tagi i linki do tej strony

Jakie tagi ma ten kalkulator

Permalink

Poniżej znaduje się permalink. Permalink to link, który zawiera dane podane przez Ciebie. Po prostu skopiuj go do schowka i podziel się swoją pracą z przyjaciółmi:

Linki do innych stron na ten temat (poza Calcullą)

JavaScript failed !
So this is static version of this website.
This website works a lot better in JavaScript enabled browser.
Please enable JavaScript.